Bài học với nội dung: Phương trình đường thẳng trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn .
A. Tổng hợp kiến thức
I. Phương trình tham số của đường thẳng
Định lí
- Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và nhận $\overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2};a_{3})$ làm vectơ chỉ phương.
- Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\Delta $ là có một số thực $t$ sao cho:
| $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} & & \\ y=y_{0}+ta_{2} & & \\ z=z_{0}+ta_{3} & & \end{matrix}\right.$ |
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
1. Hai đường thẳng song song
- d // d' <=> $d//d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} & & \\ M \in d & & \\ M \notin d' & & \end{matrix}\right.$
- $d \equiv d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} & & \\ M \in d & & \\ M \in d' & & \end{matrix}\right.$
2. Hai đường thẳng cắt nhau
Cho d: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} & & \\ y=y_{0}+ta_{2} & & \\ z=z_{0}+ta_{3} & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$
- $d$ và $d'$ cắt nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$ có đúng một nghiệm.
3. Hai đường thẳng chéo nhau
- $d$ và $d'$ chéo nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' & & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}' & & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' & & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 89 - sgk hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(2;-3;1)$
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: $x + y - z + 5 = 0$
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t & & \\y=-3+3t & & \\ z=4t & & \end{matrix}\right.$
d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Câu 2: Trang 89 - sgk hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
d: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=-3+2t & & \\ z=1+3t & & \end{matrix}\right.(t \in R)$ lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy)
b) (Oyz)
Câu 3: Trang 90 sgk hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) d: $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t & & \\y=-2+3t & & \\ z=6+4t & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=5+t' & & \\y=-1-4t' & & \\ z=20+t' & &\end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=2+t & & \\ z=3-t & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=1+2t' & & \\y=-1+2t' & & \\ z=2-2t' & & \end{matrix}\right.$
Câu 4: Trang 90 - sgk hình học 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
d: $\left\{\begin{matrix}x=1+at & & \\y=t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=1-t' & & \\y=2+2t' & & \\ z=3-t' & & \end{matrix}\right.$
Câu 5: Trang 90 - sgk hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\alpha$) trong các trường hợp sau:
a) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t & & \\y=9+3t & & \\ z=1+t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $3x+5y-z-2=0$
b) d: $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=2-t & & \\ z=1+2t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+3y+z+1=0$
c) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t & & \\y=1+2t & & \\ z=2-3t & & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+y+z-4=0$
Câu 6: Trang 90 - sgk hình học 12
Tính khoảng cách giữa đường thẳng
∆ : $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t & & \\y=-1+3t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right.$ và mp($\alpha$): $2x-2y+z+3=0$
Câu 7: Trang 91 - sgk hình học 12
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & & \\y=1+2t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Câu 8: Trang 91 - sgk hình học 12
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ($\alpha$): $x + y + z – 1 = 0$
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$).
b)Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ($\alpha$).
Câu 9: Trang 91 - sgk hình học 12
Cho hai đường thẳng:
d: $\left\{\begin{matrix}x=1-t & & \\y=2+2t & & \\ z=3t & & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\y=3-2t & & \\ z=1 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh d và d' chéo nhau.
Câu 10: Trang 91 - sgk hình học 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Vết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0,(Q): A^{'}x+B^{'}y+C^{'}z+D^{'}=0$
Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$