Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).

Dạng 3: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)..

I.Phương pháp giải

• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P)
• Hình chiếu cần tìm là giao điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Chú ý: Nếu d vuông góc với (P) thì hình chiếu của d lên (P) là điểm H chính là giao điểm của d với (P).

Ta viết phương trình đường thẳng  $\mathrm{\Delta }$ khi biết VTPT và một điểm thuộc nó.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x-2z=0\\ 3x-2y+z-3\end{array}$ trên mặt phẳng (P): x - 2y + z + 5 = 0.

Bài giải:

Ta tìm mặt phẳng (Q) đi qua d có dạng: m.(x-2z) + n(3x-2y+z-3) = 0.

$\iff$ (m+3n)x - 2ny + (-2m + n)z - 3n = 0.

(Q) vuông góc với (P) $\iff$ 1.(m+3n) -2n(-2n) + 1.(-2m + n) = 0 $\iff$ -m + 8n = 0.

Chọn m = 8 thì n= 1 ta được phương trình mặ phẳng (Q) là: 11x - 2y - 15z - 3 = 0.

Vậy hình chiếu của d lên (P) có phương trình :  $\{\begin{array}{c}11x-2y-15z-3=0.\\ 3x-2y+z-3\end{array}$

Bài tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-2}$ lên mặt phẳng (P): x -3y + z - 4 = 0.

Bài giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với (P).

Khi đó vecto pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_Q}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}]=(-4;1;7)$

Ta có B(4;1;3) thuộc d nên B thuộc (Q). Ta có phương trình mặt phẳng (Q) là : -4x + y + 7z - 6 = 0.

Hình chiếu của d lên (P) là đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là giao của (P) và (Q).

Có: u_{\Delta }=[\vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}]=(22;11;11)=11(2;1;1).

Mà C(0;\frac{1}{2};\frac{11}{2}) thuộc giao của (P) và (Q) do đó C thuộc $\mathrm{\Delta }$.

Vậy phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z-\frac{11}{2}}{1}$