Giải bài: Ôn tập chương III - phương pháp tọa độ trong không gian

Đây là bài ôn tập chương 3, chương cuối cùng trong chương trình hình học 12 với nội dung: Phương pháp tọa độ trong không gian. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn .

A. Tổng hợp kiến thức

I. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$ $k\overrightarrow{a}=k(a_{1};a_{2};a_{3})$ với k là số thực

==> Hệ quả:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}<=>a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$ $\overrightarrow{0}=(0;0;0)$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương <=> $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$

II. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3})$

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

$\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$  và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:

$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $

$\cos\varphi =\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

• Đặc biệt: 

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}<=> a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$

III. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

IV. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C\neq 0$.

Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

• $(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

• $(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, cho mp($(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp($(\alpha )$ xác định bởi công thức: 

$d(M_{0},(\alpha ))=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

V. Phương trình tham số của đường thẳng

• Điều kiện cần và đủ để điểm $M(x;y;z)$ nằm trên $\Delta $ là có một số thực $t$ sao cho:

$\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} &  & \\ y=y_{0}+ta_{2} &  & \\ z=z_{0}+ta_{3} &  & \end{matrix}\right.$

Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1. Hai đường thẳng song song

• d // d' <=> $d//d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} &  & \\ M \in d &  & \\ M \notin d' &  & \end{matrix}\right.$
• $d \equiv  d'<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'} &  & \\ M \in d &  & \\ M \in d' &  & \end{matrix}\right.$

2. Hai đường thẳng cắt nhau

Cho d: $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}+ta_{1} &  & \\ y=y_{0}+ta_{2}  &  & \\ z=z_{0}+ta_{3} &  & \end{matrix}\right.$ và d': $\left\{\begin{matrix}x=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$

• $d$ và $d'$ cắt nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$ có đúng  một nghiệm.

3. Hai đường thẳng chéo nhau

• $d$ và $d'$ chéo nhau <=> $\left\{\begin{matrix}x_{0}+ta_{1}=x_{0}'+t'a_{1}' &  & \\ y_{0}+ta_{2}=y_{0}'+t'a_{2}'  &  & \\ z_{0}+ta_{3}=z_{0}'+t'a_{3}' &  & \end{matrix}\right.$ vô nghiệm.