Dưới đây là các dạng bài khái quát của từng chương trong chương trình Hình học 12. Với bài học này sẽ giúp các bạn ôn tập lại vốn kiến thức một cách tổng quát nhất. Cùng với đó là lời giải chi tiết những bài tập theo chương trình cơ bản. Hi vọng sẽ là nguồn tài liệu tham khảo học tập hữu ích với các bạn học sinh yêu mến! .
A. Tổng hợp kiến thức
I. Khối đa diện
II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
III. Phương pháp tọa độ trong không gian
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 99 - sgk hình học 12
Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F'. O và O' là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của OO' và cắt các cạnh bên của lăng trụ. Chứng minh rằng (P) của lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.
Câu 2: Trang 99 - sgk hình học 12
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.
b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Câu 3: Trang 99 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình:
$\left\{
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.
Câu 4: Trang 99 - sgk hình học 12
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Câu 5: Trang 99 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4a^{2} (a > 0)$.
a) Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.
b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao bằng a . Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Câu 6: Trang 100 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình:
$d_{1}$: $\left\{
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) chứa $d_{1}$ và song song với $d_{2}$.
Câu 7: Trang 100 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)$.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu 8: Trang 100 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm $A(2; 4; -1), B (1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)$.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
c) Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD).
Câu 9: Trang 100 - sgk hình học 12
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: $\left\{
a) Tìm toạ độ giao điểm A của d và ($\alpha$).
b) Viết phương trình mặt phẳng ($\beta$) qua A và vuông góc với d.