Giải Câu 3 Bài: Ôn tập cuối năm sgk Hình học 10 Trang 99

a) Ta có:

Giải Câu 3 Bài: Ôn tập cuối năm - sgk Hình học 10 Trang 99

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, cạnh a

=> bán kính đường tròn ngoại tiếp là: $R = \frac{a . \sqrt{3}}{3}$

Ta có:

$\begin{aligned} \vec{M A} = \vec{O A} - \vec{O M} \\ {\vec{M A}}^{2} = (\vec{O A} - \vec{O M})^{2} = {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O M}}^{2} - 2 \vec{O A} . \vec{O M} \\ \Rightarrow {\vec{M A}}^{2} = 2 R^{2} - 2 \vec{O A} . \vec{O M} (1) \end{aligned}$

Tương tự ta có:

$\begin{aligned} M B^{2} = {\vec{M B}}^{2} = 2 R^{2} - 2 \vec{O B} . \vec{O M} (2) \\ M C^{2} = {\vec{M C}}^{2} = 2 R^{2} - 2 \vec{O C .} \vec{O M} (3) \end{aligned}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 6 R^{2} - 2 \vec{O M} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

Tam giác $A B C$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ nên $O$ cũng là trọng tâm của tam giác $A B C$ .

Suy ra $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

=> $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 6 R^{2} = 6. (\frac{a \sqrt{3}}{3})^{2}$

Vậy $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 2 a^{2}$

Giải Câu 3 Bài: Ôn tập cuối năm - sgk Hình học 10 Trang 99-1

Ta có:

$\begin{aligned} \vec{N A} = \vec{N O} + \vec{O A} \\ \Rightarrow {\vec{N A}}^{2} = {\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} \end{aligned}$

Tương tự ta có:

$\begin{aligned} {\vec{N B}}^{2} = {\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} \\ {\vec{N C}}^{2} = {\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2} \\ \Rightarrow N A^{2} + N B^{2} + N C^{2} = 3 N O^{2} + 2 \vec{N O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) + O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} \end{aligned}$

Vì $O$ là trọng tâm của tam giác

⇒ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

⇒ $N A^{2} + N B^{2} + N C^{2} = 3 N O^{2} + 3. R^{2}$

Để $N A^{2} + N B^{2} + N C^{2}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow 3. N O^{2}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow N \equiv H$

(với H là hình chiếu vuông góc của O trên d)

Giải Câu 3 Bài: Ôn tập cuối năm sgk Hình học 10 Trang 99

Bài học cùng chủ đề