a) Tam giác $ABC$ đều => $\widehat{ABM}=60^0$ => $cos \widehat{ABM}=\frac{1}{2}$
Ta có:
\(\eqalign{& A{M^2} = B{A^2} + B{M^2} - 2BA.BM.\cos\widehat {ABM} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 (cm) \cr} \)
Ta cũng có:
\(\eqalign{& \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB.AM}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM } = {{6^2+(2\sqrt7)^2-2^2 } \over {2.6.2\sqrt7}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM }={ {60} \over {24\sqrt7}} \cr & \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)
b) Tam giác \(ABM\) nội tiếp đường tròn bán kính $R$, theo định lí Sin ta có:
\(\eqalign{& {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr & R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}(cm) \cr} \)
c) Gọi $P$ là trung điểm $AM$.
Trong tam giác $AMC$ có $CP$ là đường trung tuyến. Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(\eqalign{& C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}\)
d) Diện tích tam giác \(ABM\) là:
\(S = {1 \over 2}BA.BM\sin \widehat {ABM} = {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 (c{m^2})\)