Bài này mình tổng kết lại một số kiến thức đã học của chương I khối đa diện và giải các bài tập ôn tập chương. Các bạn có thể tham khảo cách làm và mình khuyến khích các bạn tìm ra hướng đi khác cho các bài toán này. .
A. Lí thuyết
1. Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung,
- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
2. Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
3. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó, đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
5. Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau
- Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
- Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại $\left \{ p;q \right \}$..
Chú ý: Chỉ có năm loại khối diện đều: $\left \{ 3;3 \right \}, \left \{ 4;3 \right \}, \left \{ 3;4 \right \}, \left \{ 5;3 \right \}, \left \{ 3;5 \right \} $.
6. Thể tích khối đa diện
- $V_{chop}=\frac{1}{3}.B.h$.
- $V_{lt}=Bh$
Trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 4: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.
Bài 5: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=b, OC=c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Bài 6: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng $60^{0}$. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích khối chóp S.DBC.
Bài 7: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp SABC có AB=5a, BC=6a, CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SAC tạo với đáy một góc bằng $60^{0}$. Tính thể tích của khối chóp đó.
Bài 8: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, Sd sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB'D) cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Bài 9: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc $60^{0}$. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Bài 10: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.
b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp C.A'B'FE.
Bài 11: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'/ Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Bài 12: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.
a)Tính thể tích khối tứ diện ADMN.
b)Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_{(H)}}{V_{(H')}}$.
Bài 1: Trang 27 - sgk hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A)Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
B)Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;
C)Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;
D)Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
Bài 2 (trang 27/SGK): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:
A)Lớn hơn hoặc bằng 4;
B)Lớn hơn 4;
C) Lớn hơn hoặc bằng 5;
D)Lớn hơn 5.
Bài 3 (trang 27/SGK): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:
A)Lớn hơn hoặc bằng 6
B)Lớn hơn 6
C) Lớn hơn 7
D) Lớn hơn hoặc bằng 8
Bài 4 (trang 28/SGK): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A)Khối tứ diện là khối đa diện lồi;
B)Khối hộp là khối đa diện lồi;
C)Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi;
D)Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Bài 5 (trang 28/SGK): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A)Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B)Hai khối chóp cụt có diện tích một đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
C)Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D)Hai khối chóp cụt có diện tích hai đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Bài 6 (trang 28/SGK): Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC bằng:
A) $\frac{1}{2}$;
B) $\frac{1}{3}$;
C) $\frac{1}{4}$;
D) $\frac{1}{8}$.
Bài 7 (trang 28/SGK): Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng:
A) $\frac{1}{2}$;
B) $\frac{1}{4}$;
C) $\frac{1}{8}$;
D) $\frac{1}{16}$.
Bài 8 (trang 28/SGK): Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:
A) $\frac{\sqrt{2}}{3}a^{3}$;
B) $\frac{\sqrt{2}}{4}a^{3}$;
C) $\frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$;
D) $\frac{\sqrt{3}}{4}a^{3}$.
Bài 9 (trang 27/SGK): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:
A) $\frac{1}{2}$;
B) $\frac{1}{3}$;
C) $\frac{1}{4}$;
D) $\frac{1}{6}$.
Bài 10 (trang 28/SGK): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao của AC và BD. Tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:
A) $\frac{1}{2}$;
B) $\frac{1}{3}$;
C) $\frac{1}{4}$;
D) $\frac{1}{6}$.