Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng.

I.Phương pháp giải

Cách 1:

• Tìm toạ độ 2 điểm A, B thuộc d ( Tìm nghiệm của hệ $\{\begin{array}{c}Ax+By+Cz+D=0\\ A^{{}^{\prime }}x+B^{{}^{\prime }}y+C^{{}^{\prime }}z+D^{{}^{\prime }}=0\end{array}$).
• Viết phương trình đi qua 2 điểm A và B.

Cách 2: Đặt 1 trong ba ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ hai phương trình với hai ẩn còn lại theo t rồi suy ra phương trình tham số của d.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y - z - 3 = 0 và (Q): x + y + z - 1 = 0.

Bài giải:

Ta tìm toạ độ hai điểm A, B thuộc (d) là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{c}2x+y-z-3=0\\ x+y+z-1=0\end{array}$.

Chọn z = 0 suy ra x = 2 và y = -1 $\Rightarrow$ A(2;-1;0)

Chọn z = 1 suy ra x = 4 và y = -4$\Rightarrow$ B(4;-4;1).

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2;-3;1)$

Do đó đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;0) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;-3;1)$ có phương trình chính tắc là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$.

Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z - 2 = 0 và (Q):2x + 3y - z = 0.

Bài giải: 

Toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) thoả mãn hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y-z-2=0\\ 2x+3y-z=0\end{array}$.

Đặt x = t, ta có:

$\{\begin{array}{c}t+y-z-2=0\\ 2t+3y-z=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}y-z=2-t\\ 3y-z=-2t\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}y=-1-\frac{1}{2}t\\ z=-3+\frac{1}{2}t\end{array}$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-1-\frac{1}{2}t\\ z=-3+\frac{1}{2}t\end{array}$