Giải Bài: Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng: $∆$ : $\{\begin{array}{cc}x=x_0+t.a& \\ y=y_0+t.b& \end{array}$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$
• Phương trình tổng quát của đường thẳng: $ax+by+c=0$ với vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ 

      Trường hợp đặc biệt

• Nếu $a=0=>y=\frac{-c}{b};∆\perp Oy=(0;\frac{-c}{b})$
• Nếu $b=0=>x=\frac{-c}{a};∆\perp Ox=(\frac{-c}{a};0)$
• Nếu $c=0=>ax+by=0=>∆$ đi qua gốc tọa độ.
• Nếu $∆$ cắt $Ox$ tại $(a;0)$ và $Oy$ tại $B(0;b)$ thì ta có phương trình đường thẳng $∆$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

      Vị trí tương đối của hai đường thẳng

       Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ có phương trình tổng quát lần lượt là: a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0.

       Điểm $M_0(x_0;y_0)$ là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ hai phương trình:

       (1)  $\{\begin{array}{cc}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_2=0& \end{array}$ 

      Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ $\equiv$  ∆₂

       Góc giữa hai đường thẳng

        Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 

                                    ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

        Đặt $\phi$ = $\widehat{{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2}$

                  $\cos \phi$ = $\frac{|a_1.a_2+b_1.b_2|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$

        Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

         Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $∆$ có phương trình $ax+by+c-0$ và điểm $M_0(x_0;y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $∆$ kí hiệu là $d(M_0,∆)$, được tính bởi công thức:

                     $d(M_0,∆)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2. Phương trình đường tròn

• Phương trình đường tròn có tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ là:$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

• Phương trình đường tròn  $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$  có thể được viết dưới dạng:

                             $$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$$

        trong đó $c=a^2+b^2+R^2$

•  Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn

       Cho điểm $M_0(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$. Gọi $∆$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại $M_0$.

       Phương trình $∆$ là : $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

3. Phương trình đường elip

•     Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.

       Với các điểm $F_1$ và $F_2$  gọi là tiêu điểm của elip.

      Khoảng cách $F_1{F}_2=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

• Phương trình chính tắc của elip

      Cho elip có tiêu điểm $F_1$ và $F_2$  chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được: $M(x;y)\in$ elip  $\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}=1$ (1)

       trong đó:   $b^2=a^2–c^2$

       Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

• Các điểm $A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b)$ gọi là các đỉnh của elip.
• Độ dài trục lớn: $2a$
• Độ dài trục bé: $2b$