A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường thẳng

  • Phương trình tham số của đường thẳng: \(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\) với vecto chỉ phương \(\vec{u}  = (a;b)\)
  • Phương trình tổng quát của đường thẳng: \(ax + by + c = 0\) với vecto pháp tuyến \(\vec{n}  = (a;b)\) 

      Trường hợp đặc biệt

  • Nếu \(a = 0 => y = \frac{-c}{b};  ∆ \perp Oy=(0;\frac{-c}{b})\)
  • Nếu \(b = 0 => x = \frac{-c}{a}; ∆ \perp Ox=(\frac{-c}{a};0)\)
  • Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\) đi qua gốc tọa độ.
  • Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng \(∆\) theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

      Vị trí tương đối của hai đường thẳng

       Xét hai đường thẳng  ∆và ∆có phương trình tổng quát lần lượt là: a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0.

       Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) là điểm chung của  ∆và ∆2  khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:

       (1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

      Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆// ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆$\equiv$  ∆2

       Góc giữa hai đường thẳng

        Cho hai đường thẳng  ∆= a1x+b1y + c1 = 0 

                                    ∆=  a 2+ b2y +c2 = 0

        Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

                  \(\cos  \varphi\) = \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

        Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

         Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức:

                     \(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

2. Phương trình đường tròn

  • Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\,\ \) bán kính \(R\) là:${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$
  • Phương trình đường tròn  \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)  có thể được viết dưới dạng:

                             $${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$

        trong đó \(c = {a^2} + {b^2} + {R^2}\)

  •  Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn

       Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\). Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\).

       Phương trình \(∆\) là : $({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$

3. Phương trình đường elip

  •     Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

       Với các điểm \(F_1\) và \(F_2\)  gọi là tiêu điểm của elip.

      Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip.

  • Phương trình chính tắc của elip

      Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)  chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được: \(M(x ; y) \in\) elip  \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

       trong đó:   \(b^2= a^2– c^2\)

       Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

  • Các điểm $A_1(-a;0),\,\ A_2(a;0),\,\ B_1(0;-b),\,\ B_2(0;b)$ gọi là các đỉnh của elip.
  • Độ dài trục lớn: $2a$
  • Độ dài trục bé: $2b$

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Biết các đỉnh \(A(5; 1), C(0; 6)\) và phương trình \(CD: x + 2y – 12 = 0\).

Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.

Câu 2: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho \(A(1; 2),\,\  B(-3; 1),\,\ C(4; -2)\). Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\).

Câu 3: Trang 93 - SGK Hình học 10

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng: \({\Delta _1} : 5x + 3y – 3 = 0\) và \({\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0\)

Câu 4: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2\) và hai điểm \(O(0; 0); A(2; 0)\)

a) Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\).

b) Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Câu 5: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\)

a) Tìm tọa độ điểm \(G\) , trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

b) Tìm \(T\) là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Câu 6: Trang 93 - SGK Hình học 10

Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \(3x – 4y + 12 = 0\) và \(12x+5y-7 = 0\)

Câu 7: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1, 2)\) và bán kính bằng \(3\). Chứng minh rằng tập hợp các điểm \(M\) từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với \((C)\) tạo với nhau một góc \(60^0\) là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Câu 8: Trang 93 - SGK Hình học 10

Tìm góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta_1\): \(2x + y – 4 = 0\) ; \(\Delta_2\): \(5x – 2y + 3 = 0\)

b) \(\Delta_1\): \(y = -2x + 4\)  ;   \({\Delta _2}:y = {1 \over 2}x + {3 \over 2}\)

Câu 9: Trang 93 - SGK Hình học

Cho elip \((E) : {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Câu 10: Trang 94 - SGK Hình học 10

Ta biết rằng Mặt trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(769 266 km\) và \(768 106 km\). Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của Elip.