Giải bài 4: Hệ trục tọa độ

A. Tổng hợp kiến thức

I. Hệ trục tọa độ

Hệ trục tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j})$ gồm hai trục $(O; \vec{i})$ và $(O; \vec{j})$ . Ký hiệu: Oxy.
Điểm O là gốc chung tọa độ.
$(O; \vec{i})$ gọi là trục hoành. Ký hiệu: Ox.
$(O; \vec{j})$ gọi là trục tung. Ký hiệu: Oy.
$| \vec{i} | = | \vec{j} | = 1$

1. Tọa độ của vectơ

Nếu $\vec{u} = (x; y)$ ,ta có:

\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}

Nếu $\vec{u} = (x; y)$ , $\vec{u^{'}} = (x^{'}; y^{'})$ , ta có:

\vec{u} = \vec{u^{'}} <=> {\begin{matrix} x = x^{'} \\ y = y^{'} \end{matrix}

2. Tọa độ của một điểm

Cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ ,ta có:

\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

3. Tọa độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ , $\vec{u} - \vec{v}$ , $k \vec{u}$

Cho $\vec{u} = (u_{1}; u_{2})$ , $\vec{v} = (v_{1}; v_{2})$ , ta có:

$\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}; u_{2} + v_{2})$

$\vec{u} - \vec{v} = (u_{1} - v_{1}; u_{2} - v_{2})$

$k \vec{u} = (k u_{1}; k u_{2})$

Chú ý:

Hai vectơ $\vec{u}; \vec{v}$ cùng phương <=> ${\begin{matrix} u_{1} = k v_{1} \\ u_{2} = k v_{2} \end{matrix}$

II. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác

Với $I (x_{I}; y_{I})$ là trung điểm đoạn thẳng AB có $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ , ta có:

x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}

Với $G (x_{G}; y_{G})$ là trọng tâm tam giác ABC có $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ và $C (x_{C}; y_{C})$ , ta có:

$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$ ;

$y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 26 - sgk hình học 10

Trên trục $(O; \vec{e})$ cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2.

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục.

b) Tính độ dài đại số của $\vec{A B}$ và $\vec{M N}$ .

Từ đó suy ra hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{M N}$ ngược hướng.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 26 - sgk hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\vec{a} = (- 3; 0)$ và $\vec{i} = (1; 0)$ là hai vectơ ngược hướng.

a) $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (- 3; - 4)$ là hai vectơ đối nhau.

c) $\vec{a} = (5; 3)$ và $\vec{b} = (3; 5)$ là hai vectơ đối nhau.

d) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 26 - sgk hình học 10

Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = 2 \vec{i}$

b) $\vec{b} = - 3 \vec{j} + 5 \vec{j}$

c) $\vec{c} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j}$

d) $\vec{d} = 0, 2 \vec{i} + \sqrt{3} \vec{j}$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 26 - sgk hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vectơ OA;

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 27 - sgk hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M (x + 0, y_{0})$ .

a) Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua trục Ox;

b) Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy;

c) Tìm tọa độ của điểm C đối xứng với M gốc O.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Trang 27 - sgk hình học 10

Cho hình bình hành ABCD có $A (- 1; - 2), B (3; 2), C (4; - 1)$ . Tìm tọa độ của đỉnh D.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: Trang 27 - sgk hình học 10

Các điểm $A^{'} (- 4; 1), B^{'} (2; 4), C^{'} (2; - 2)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B C, C A$ và $A B$ của tam giác $A B C$ . Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 8: Trang 27 - sgk hình học 10

Cho vectơ $\vec{a} = (2; - 2)$ , vectơ $\vec{b} = (1; 4)$ . Hãy phân tích vectơ $\vec{c} = (5; 0)$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và

$\vec{b}$

=> Xem hướng dẫn giải

Giải bài 4: Hệ trục tọa độ

Mục lục

Bài học cùng chủ đề

A. Tổng hợp kiến thức

I. Hệ trục tọa độ

II. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác

B. Bài tập và hướng dẫn giải