Giải Câu 4 Bài: Ôn tập chương 3 sgk Hình học 10 Trang 93

a) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta ,H$ là giao điểm của đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

$\overline{OH}=(x;y)$

$\Delta :x–y+2=0$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;1)$

 $\overrightarrow{OH}\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }\Rightarrow 1.x+1.y=0\iff x+y=0$

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}x+y=0\hfill \\ x-y+2=0\hfill \end{array}\Rightarrow H(-1;1)$

Gọi $O^{\prime }$ là đỉnh đối xứng của $O$ qua $\Delta$ thì $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $O{O}^{\prime }$

$\begin{array}{rl}& x_H=\frac{x_O+x_{O^{\prime }}}{2}\Leftarrow -1=\frac{0+x_{O^{\prime }}}{2}\Rightarrow x_{O^{\prime }}=-2\\ & y_H=\frac{y_O+y_{O^{\prime }}}{2}\Leftarrow -1=\frac{0+y_{O^{\prime }}}{2}\Rightarrow y_{O^{\prime }}=2\end{array}$

Vậy $O^{\prime }(-2;2)$.

b) Nối $O^{\prime }A$ cắt $\Delta$ tại $M$

Ta có: $OM=O^{\prime }M$

$\Rightarrow OM+MA=O^{\prime }M+MA=O^{\prime }A$

Giả sử trên $\Delta$ có một điểm $M^{\prime }\ne M$, ta có ngay:

$O{M}^{\prime }+M^{\prime }A>O^{\prime }A$

Vậy điểm $M$, giao điểm của $O^{\prime }A$ với $\Delta$, chính là điểm thuộc $\Delta$ mà độ dài của đường gấp khúc $OMA$ ngắn nhất.

$A(2;0);O(-2;2)$ nên $O^{\prime }A$ có hệ phương trình: $x+2y–2=0$

Tọa độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{c}x+2y-2=0\hfill \\ x-y+2=0\hfill \end{array}\Rightarrow M(-\frac{2}{3},\frac{4}{3})$