Giải Câu 5 Bài: Ôn tập chương 3 sgk Hình học 10 Trang 93

a) Ta có:

$\begin{array}{rl}& x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\Rightarrow x_G=\frac{4+2-3}{3}=1\\ & y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\Rightarrow y_G=\frac{3+7-8}{3}=\frac{2}{3}\end{array}$

Vậy $G(1,\frac{2}{3})$

Gọi $(x;y)$ là tọa độ của $H$

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AH}=(x-4,y-3);\overrightarrow{BC}=(-5,-15)\\ & \overrightarrow{BH}=(x-2,y-7);\overrightarrow{AC}=(-7,-11)\\ & \overrightarrow{AH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ & \iff -5(x-4)-15(y-3)=0\iff x+y-13=0\\ & \overrightarrow{BH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\\ & \iff -7(x-2)-11(y-7)=0Leftrightarrow7x+11y-91=0\end{array}$

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}x+y-13=0\hfill \\ 7x+11y-91=0\hfill \end{array}\Rightarrow H(13;0)$

b) Tâm $T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện

$TA=TB=TC\Rightarrow T{A}^2=T{B}^2=T{C}^2$, cho ta:

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2\iff x-2y+7=0$

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(x+3\right)}^2+{\left(y+8\right)}^2\iff 7x+11y+24=0$

Do đó tọa độ tâm $T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC) là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{c}x-2y+7=0\hfill \\ 7x+11y+24=0\hfill \end{array}\Rightarrow T(-5;1)$

Ta có: $\overrightarrow{TH}=(-18;1);\overrightarrow{TG}=(6;\frac{-1}{3})$

Ta có: $\overrightarrow{TH}=3\overrightarrow{TG}$

Vậy ba điểm $H,G,T$ thẳng hàng.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $T(-5;1)$, bán kính $R=AT=\sqrt{85}$

$R^2=A{T}^2={\left(-5-4\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2=85$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

$(x+5{)}^2+(y–1{)}^2=85$