a) Ta có:
\(\eqalign{& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr & {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \)
Vậy \(G\left(1,{2 \over 3}\right)\)
Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(H\)
\(\eqalign{& \overrightarrow {AH} = (x - 4,y - 3);\overrightarrow {BC} = ( - 5, - 15) \cr & \overrightarrow {BH} = (x - 2,y - 7);\overrightarrow {AC} = ( - 7, - 11) \cr & \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y - 13 = 0 \cr & \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \)
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{x + y - 13 = 0 \hfill \cr 7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(13;0)\)
b) Tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện
\(TA = TB = TC ⇒ TA^2= TB^2= TC^2\), cho ta:
\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\)
\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\)
Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr 7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH} = ( - 18;1);\overrightarrow {TG} = (6;{-1 \over 3})\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH} = {3}\overrightarrow {TG} \)
Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT = \sqrt{85}\)
\({R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {1-3} \right)^2} = 85\)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85\)