Gọi \(M(x; y)\) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:
\(\eqalign{& d(M,{\Delta _1}) = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} \cr & d(M,{\Delta _2}) = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr} \)
Điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nên:
\(\eqalign{& {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr & \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \)
Ta xét hai trường hợp:
(*) \(5x + 3y – 3 = - (5x + 3y + 7) ⇔ 5x + 3y + 2 = 0\)
(**) \(5x + 3y – 3 = 5x + 3y + 7\) (vô nghiệm)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là đường thẳng \(Δ: 5x + 3y + 2 = 0\)
Dễ thấy \(Δ\) song song với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) và hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nằm về hai phía đối với \(Δ\).