Giải bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đây là bài học quan trọng nhất của chương này. Bài học này tổng hợp tất cả các kiến thức đã học trước đó..

I. Phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên

    Xét chiều biến thiên của hàm số:

• Tính đạo hàm y';
• Tìm các điểm tại đó y'=0 hoặc không xác định;
• Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

    Tìm cực trị.

    Tìm giới hạn tại vô cực, các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

    Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị

    Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

ll. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

1. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $(a \neq 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-4$.

Giải: TXĐ $D=\mathbb{R}$.

• Ta có $y'=3x^{2}+6x=3x(x+2)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2\hfill \cr x=0 \hfill \cr} \right.$

Trên các khoảng $(-\infty,-2)\cup (0,+\infty)$, y'>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (-2,0), y'<0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2, y_{CĐ}=y(-2)=0$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0, y_{CT}=y(0)=-4$.

• Các giới hạn tại vô cực 

$\lim_{x \to -\infty}y=\lim_{x \to -\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=-\infty$

$\lim_{x \to +\infty}y=\lim_{x \to +\infty}x^{3}(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{3}})=+\infty$

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Giao với Ox, y=0 nên $x^{3}+3x^{2}-4=(x-1)(x+2)^{2}=0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-2 \hfill \cr x=1 \hfill \cr} \right.$.

Giao với Oy, x=0 nên y=-4.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a \neq 0)$

2. Hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ $ (a \neq 0)$

Dạng của đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ ($a\neq 0$)

3. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)

Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$)