Giải câu 4 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải câu 4 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

a)   $x^3-3x^2+5=0$     (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y =x^{3} - 3x^{2} + 5  và trục hoành ( y = 0 ).

Xét hàm số $y=x^3-3x^2+5$ ta có:

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

          Ta có:  $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$

            =>  $y^{\prime }=0=>x=0;x=2$

•  Giới hạn:

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

 

=> Đồ thị hàm số  $y=x^3-3x^2+5$ chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

=>  Phương trình $x^3-3x^2+5=0$ chỉ có 1 nghiệm.

b)   $-2x^3+3x^2-2=0$

<=>  $2x^3-3x^2=-2$     (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y=2x^3-3x^3$ và đường thẳng $y=-2$.

Xét hàm số  $y=2x^3-3x^2$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y^{\prime }=6x^2-6x=6x(x-1)$

            =>  $y^{\prime }=0=>x=0;x=1$

• Giới hạn:

•  Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

=>  Đồ thị hàm số $y=2x^3-3x^2$ chỉ cắt đường thẳng $y=-2$ tại 1 điểm duy nhất.

=>  Phương trình $2x^3-3x^2=-2$ chỉ có 1 nghiệm.

c)   $2x^2-x^4=-1$     (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y=2x^2-x^4$ và đường thẳng $y=-1$.

Xét hàm số $y=2x^2-x^4$ ta có:

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

             Ta có:  $y^{\prime }=4x-4x^3=4x(1-x^2)$

                 => $y^{\prime }=0=>x=0;x=\pm 1$

• Giới hạn:

•  Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

=> Đồ thị hàm số  $y=2x^2-x^4$ cắt đường thẳng $y=-$1 tại hai điểm.

=> Phương trình $2x^2-x^4=-$ có hai nghiệm phân biệt.