Giải câu 5 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải câu 5 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

a)   Khảo sát hàm số $y=-x^3+3x+1$

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x^2-1)$

             => $y^{\prime }=0<=>-3(x^2-1)=0<=>x=\pm 1$

• Giới hạn:  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

                             $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$

• Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1).
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
• Cực trị:  Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).

                          Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).

• Đồ thị:

b) Ta có: $x^3-3x+m=0$ (*)

<=>  $-x^3+3x=m$

<=>  $-x^3+3x+1=m+1$

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d): $y=m+1$.

Biện luận: 

•     Nếu $m+1<–1<=>m<–2$  thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.
•     Nếu $m+1=–1<=>m=–2$  thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
•     Nếu $–1<m+1<3<=>–2<m<2$  thì (C ) cắt (d) tại 3 điểm.
•     Nếu $m+1=3<=>m=2$  thì (C ) cắt (d) tại 2 điểm.
•     Nếu $m+1>3<=>m>2$  thì (C ) cắt (d) tại 1 điểm.

=>  Số nghiệm của phương trình $x^3-3x+m=0$ phụ thuộc tham số m.

•     Phương trình có 1 nghiệm nếu $m<-2$ hoặc $m>2$.
•     Phương trình có 2 nghiệm nếu  $m=-2$ hoặc $m=2$.
•     Phương trình có 3 nghiệm nếu  $-2<m<2$.