Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) Xét hàm số $y = f (x) = \tan x - x$ trên $(0, \frac{π}{2})$ .

Ta có $y^{'} = f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} - 1 = \tan^{2} x > 0 \forall x (0, \frac{π}{2})$ .

Hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $(0, \frac{π}{2})$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (0, \frac{π}{2})$ do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng này.

Suy ra với $x \in (0, \frac{π}{2})$ thì $f (x) > f (0) = 0$ hay $\tan x - x > 0$ .

Vậy $\tan x > x$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$ .

b) Xét hàm số $y = g (x) = \tan x - x - \frac{x^{3}}{3}$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$

Ta có $y^{'} = g^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} - 1 - x^{2} = \tan^{2} x - x^{2}$ .

Theo kết quả câu a ta có $t a n x > x$ với mọi $x \in (0, \frac{π}{2})$ nên suy ra $g^{'} (x) = \tan^{2} x - x^{2} > 0$ với $x \in (0, \frac{π}{2})$

Do đó hàm số $g (x)$ luôn đồng biến trên $(0, \frac{π}{2})$ $\Rightarrow g (x) > g (0) = 0$ hay $\tan x > x + \frac{x^{3}}{3}$ với $0 < x < \frac{π}{2}$ .

Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề