Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định.

I. Phương pháp giải:

Ta có y=adbc(cx+d)2.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y>0 với mọi x thuộc tập xác định.

Điều này tương đương với adbc>0.

Chú ý: Bài toán trên y không được phép bằng 0. Vì khi đó, adbc=0 dẫn đến hàm số không đổi trên từng khoảng xác định.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá thực của m sao cho hàm số y=mxx+1 đồng biến trên khoảng xác định.

Bài giải:

Ta có y=x+mx+1.

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: 1m>0 tương đương m<1.

Bài tập 2: Cho hàm số y=mx+4mx+m, với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

Bài giải 

Ta có y=mx+4mx+m .

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: m24m<0 tương đương 0 < m < 4.

Vì m nguyên nên các giá trị của m là: 1; 2; 3. Vậy số phần tử của S bằng 3.

Bài tập 3:  Tìm tất cả các giá thực của m sao cho hàm số y=x+mmx đồng biến trên khoảng (1;3).

Bài giải:

Ta viết lại y=x+mx+m.

Ta có y=2m(x+m)2 .

Hàm số trên đồng biến trên khoảng (1;3) khi và chỉ khi hàm số xác định trên khoảng (1;3) và đồng biến trên từng khoảng xác định.

Nghĩa là:

{[m1m3m>0m(0;1][3,+).