Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 đồng biến trên tập số thực.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc 3 đồng biến trên tập số thực..

I. Phương pháp giải:

$y$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Điều trên tương đương với

$\{\begin{array}{c}a>0\\ {\mathrm{\Delta }}_{y^{\prime }}\le 0\end{array}$

 II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Hàm số $y=-x^3-m{x}^2+(4m+9)x+5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta có $y^{\prime }=-3x^2-2mx+(4m+9)$ là tam thức bậc hai có ${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}=m^2+12m+27$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{{}^{\prime }}\le 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, tức là: 

${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}\le 0\iff m^2+12m+27\le 0\iff -9\le m\le -3$.

Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $7$. 

Bài tập 2:  Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=(m^2-1)x^3+(m-1)m{x}^2-x+4$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Bài giải:

Ta thấy, điều kiện cần để hàm số trên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $m^2-1\le 0$ $\iff$ m$\in$ {-1;0;1}.

• $m=0$, $y=-x^3-x^2-x+4$. Ta có, $y^{\prime }=-3x^2-2x-1<0$, $\mathrm{\forall }$ $x\in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).

• $m=1$, $y=-x+4$. Ta có, $y^{\prime }=-1<0$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, (thoả mãn).

• $m=-1$, $y=-2x^2-x+4$.

Hàm số nghịch biến trên $(\frac{-1}{4};+\mathrm{\infty })$, đồng biến trên $(-\mathrm{\infty };\frac{-1}{4})$, (không thoả mãn).

Vậy số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $2$.