Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng.

I. Phương pháp giải:

Hàm số đã cho đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$, $\mathrm{\forall }x\in (a;b)$.

Giả sử $f^{\prime }(x)\ge 0$ tương đương với $g(x)\ge m$ ( $m$ là tham số của bài toán).

Khi đó, yêu cầu của bài toán trở thành:

$g(x)\ge m,\mathrm{\forall }x\in (a;b)$              (1).

Ta có thể giải (1) bằng phương pháp hình học

• Đầu tiên ta vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của hàm số $y=g(x)$, $x\in (a;b)$;
• Điều kiện (1) tương đương với: đồ thị (C) nằm từ đường thẳng $y=m$ trở lên. 

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=2x^3-m{x}^2+2x$ đồng biến trên khoảng $(-2;0)$?

Bài giải: Ta có $y^{\prime }=6x^2-2mx+2$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:

$6x^2-2mx+2\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (-2;0)$

$\iff m\ge \frac{3x^2+1}{x},\mathrm{\forall }x\in (-2;0)$.

Xét hàm $g(x)=\frac{3x^2+1}{x},x\in (-2;0)$.

Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{3x^2-1}{x^2}$.

$g^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$.

Ta có bảng biến thiên

Suy ra $m\ge -2\sqrt{3}$.

Bài tập 2: Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=x^3+2x^2+mx+2$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$?

Bài giải: Ta có $y^{\prime }=3x^2+4x+m$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:

$3x^2+4x+m\le 0,\mathrm{\forall }x\in (-1;1)$

$\iff m\le -3x^2-4x,\mathrm{\forall }x\in (-1;1)$.

Xét hàm $g(x)=-3x^2-4x,x\in (-1;1)$. 

Ta có bảng biến thiên:

Vậy $m\le -7.$