Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên một khoảng.
I. Phương pháp giải:
Hàm số đã cho đồng biến trên $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x)\geq 0$, $\forall x\in (a;b)$.
Giả sử $f'(x)\geq 0$ tương đương với $g(x)\geq m$ ( $m$ là tham số của bài toán).
Khi đó, yêu cầu của bài toán trở thành:
$g(x)\geq m, \forall x\in (a;b)$ (1).
Ta có thể giải (1) bằng phương pháp hình học
- Đầu tiên ta vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của hàm số $y=g(x)$, $x\in (a;b)$;
- Điều kiện (1) tương đương với: đồ thị (C) nằm từ đường thẳng $y=m$ trở lên.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=2x^3-mx^2+2x$ đồng biến trên khoảng $(-2;0)$?
Bài giải: Ta có $y'=6x^2-2mx+2$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$6x^2-2mx+2 \geq 0, \forall x\in (-2;0)$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{3x^2+1}{x}, \forall x\in (-2;0)$.
Xét hàm $g(x)=\frac{3x^2+1}{x}, x\in (-2;0)$.
Ta có $g'(x)=\frac{3x^2-1}{x^2}$.
$g'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$.
Ta có bảng biến thiên
Suy ra $m\geq -2\sqrt{3}$.
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá thực của $m$ sao cho hàm số $y=x^3+2x^2+mx+2$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$?
Bài giải: Ta có $y'=3x^2+4x+m$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$3x^2+4x+m\leq 0, \forall x\in (-1;1)$
$\Leftrightarrow m\leq -3x^2-4x, \forall x\in (-1;1)$.
Xét hàm $g(x)=-3x^2-4x, x\in (-1;1)$.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy $m\leq -7.$