Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp

Dạng 4: Tính đơn điệu của hàm hợp.

I. Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $t=t(x)$, đưa bài toán về hàm $f(t).$

Bước 2: Tìm tập giá trị của hàm $t=t(x),x\in (a;b)$. Giả sử tập giá trị bằng $(\alpha ;\beta )$. Khi đó

• Hàm $t(x)$ đồng biến trên $(a;b)$ thì

$f[t(x)]$ đồng biến trên $(a;b)$ $\iff$ $f(t)$ đồng biến trên $(\alpha ;\beta )$.

• Hàm $t(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$ thì

$f[t(x)]$ đồng biến trên $(a;b)$ $\iff$ $f(t)$ nghịch biến trên $(\alpha ;\beta )$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm $m$ sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$?

Bài giải: 

Đặt $t=\tan x,$ ta có

• $\tan x$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$.

• $t\in (0;1)$.

Bài toán tương đương với tìm $m$ để hàm số $y=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $(0;1),$ nghĩa là

$\{\begin{array}{c}[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 1\end{array}\\ -m+2>0\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}m\le 0\\ 1\le m<2\end{array}$.

Bài tập 2: Tìm $m$ sao cho hàm số $y=\frac{-\cos x+m}{\cos x-1}$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$?

Bài giải: 

Đặt $t=\cos x,$ ta có

• $\cos x$ nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$.

• $t\in (0;1)$.

Bài toán tương đương với tìm $m$ để hàm số $y=\frac{-t+m}{t-1}$ nghịch biến trên khoảng $(0;1).$

Ta có $y^{\prime }=\frac{1-m}{(t-1{)}^2}$ $\iff$ $1-m<0$ $\iff$ $m>1.$