Giải bài 4: Đường tiệm cận

Toán học kể cho ta ba câu chuyện tình buồn. Câu chuyện thứ nhất về hai đường thẳng song song chúng luôn nhìn thấy nhau nhưng không bao giờ có thể gặp được nhau. Câu chuyện thứ hai về hai đường thẳng cắt nhau rằng họ chỉ có thể gặp nhau một lần để rồi xa nhau mãi mãi. Và cuối cùng là câu chuyện của hai đường tiệm cận họ chỉ có thể càng đi càng gần nhau nhưng lại không bao giờ có điểm chung..

A. Lí thuyết

I. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a,+\infty), (-\infty;b), (-\infty, +\infty))$. Đường thẳng $y=y_{0}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• $\lim_{x \to +\infty} f(x)=y_{0}$
• $\lim_{x \to -\infty} f(x)=y_{0}$.

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+1$ xác định trên khoảng $(0,+\infty)$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$ vì $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{\sqrt{x}}+1)=1$

II. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=+\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$
• $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=+\infty$

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số $$y=\frac{x-1}{x+2}.$$

Giải: Vì $\lim_{x \to -2^{+}}\frac{x-1}{x+2}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của (C).

Vì $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x-1}{x+2}=1$ nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của (C).