Tìm tham số để hàm số thoả mãn một số điều kiện về tiệm cận.
Bài tập 1: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{mx^{2}+1}}$ có hai tiệm cận ngang.
Bài giải:
Ta có:
$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{mx^{2}+1}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{\sqrt{mx^{2}}}=+\frac{1}{\sqrt{m}}$.
$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x+1}{\sqrt{mx^{2}+1}}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{\sqrt{mx^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{m}}$.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai giới hạn trên tồn tại hay m > 0.
Vậy m > 0.
Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-4x+m}}$ có đúng một tiệm cận đứng?
Bài giải:
TH1: Mẫu có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta '=0 \Leftrightarrow 4-m=0\Leftrightarrow m=4.$
TH2: Mẫu có 1 nghiệm là $x=1,$ nghiệm còn lại khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1^2-4.1+m=0\\\frac{c}{a}=\frac{m}{1}\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=3.$
Vậy có 2 giá trị của m làm cho đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là m=3; m=4.
Bài tập 3: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^{2}-2mx+m}}$ có đúng một tiệm cận đứng.
Bài giải:
TH1: $x^2-2mx+m=0$ có nghiệm kép $x=1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta '=0\\\frac{-b}{2a}=m=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=1.$
TH2: $x^{2}-2mx+m=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '<0\Leftrightarrow 0<m<1.$
Vậy $0<m\leq 1.$