Tìm tham số để hàm số thoả mãn một số điều kiện về tiệm cận

Tìm tham số để hàm số thoả mãn một số điều kiện về tiệm cận.

Bài tập 1: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{m{x}^2+1}}$ có hai tiệm cận ngang.

Bài giải:

Ta có:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{\sqrt{m{x}^2+1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{m{x}^2}}=+\frac{1}{\sqrt{m}}$.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{\sqrt{m{x}^2+1}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{m{x}^2}}=-\frac{1}{\sqrt{m}}$.

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai giới hạn trên tồn tại hay m > 0.

Vậy m > 0.

Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4x+m}}$ có đúng một tiệm cận đứng?

Bài giải:

TH1: Mẫu có nghiệm kép $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff 4-m=0\iff m=4.$

TH2: Mẫu có 1 nghiệm là $x=1,$ nghiệm còn lại khác 1.

$\iff \{\begin{array}{c}{1}^2-4.1+m=0\\ \frac{c}{a}=\frac{m}{1}\ne 1\end{array}\iff m=3.$

Vậy có 2 giá trị của m làm cho đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là m=3; m=4.

Bài tập 3: Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{(x-1{)}^2}{\sqrt{x^2-2mx+m}}$ có đúng một tiệm cận đứng.

Bài giải:

TH1: $x^2-2mx+m=0$ có nghiệm kép $x=1$ 

$\iff \{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\\ \frac{-b}{2a}=m=1\end{array}\iff m=1.$

TH2: $x^2-2mx+m=0$ vô nghiệm $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff 0<m<1.$

Vậy $0<m\le 1.$