Giải bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ở các lớp dưới, chúng ta đã biết được cách tìm GTLN và GTNN của hàm số thông qua một số bất đẳng thức quen thuộc như Bunhiacopski, Cauchy... Bài hôm nay, chúng ta được học thêm một phương pháp nữa để tìm GTLN và GTNN của hàm số đó là nhờ vào một ứng dụng quan trọng của đạo hàm hàm số..

A. Lí thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập D.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập D nếu $f(x) \leq M$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f(x_{0}=M$. Kí hiệu $M=\max_{D} f(x)$.
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập D nếu $f(x) \geq m$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f(x_{0}=m$. Kí hiệu $m=\min_{D} f(x)$.

2. Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

Tìm các điểm $x_{1}, x_{2},...,x_{n}$ trên khoảng (a,b) tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Tính $f(a), f(x_{1}), f(x_{2}),..., f(x_{n}),f(b)$.
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có $M=\max_{[a,b]}f(x), m=\min_{[a,b]}f(x)$.

Tổng quát: Muốn tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên TXĐ.

Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Giải phương trình $f'(x)=0$
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận.

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $$y=x-5+\frac{1}{x}$$ trên khoảng $(0,+\infty)$.

Giải: TXĐ $D=(0,+\infty)$.

Ta có $y'=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0,+\infty)$, hàm số đạt GTNN là -3 khi x=1 và không tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $(0,+\infty)$.