Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách đặt ẩn phụ.

I.Phương pháp giải

Đặt $t=k(x)$.

Xác định điều kiện của t.

Đưa hàm số f(x) về hàm số g(t).

Tìm GTLN; GTNN của hàm g(t) rồi kết luận.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\cos 2x+2\sin x-3$ trên $[\frac{-\pi }{6};\frac{5\pi }{6}]$.

Bài giải:

Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in [\frac{-\pi }{6};\frac{5\pi }{6}]$ nên $t\in [\frac{-1}{2};1]=T$.

Khi đó $f(x)=-2t^2+2t-2=g(t).$

Ta có $g^{\prime }(t)=-4t+2$.

$g^{\prime }(t)=0\iff t=\frac{1}{2}$.

Ta có: $g(\frac{-1}{2})=\frac{-7}{2};g(\frac{1}{2})=\frac{-3}{2};g(1)=-2$.

Vậy:

$\underset{x}{max}$ $f(x)=\underset{t}{max}g(t)=g(\frac{1}{2})=\frac{-3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f(x)=\underset{t}{min}g(t)=g(\frac{-1}{2})=\frac{-7}{2}$

Bài tập 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{(x-1)(5-x)}+5$.

Bài giải:

Tập xác định D=[1; 5], X = D.

$Đặtt=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-1}$

Khi đó: $t^{{}^{\prime }}=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{5-x}}$

$t^{{}^{\prime }}=0\iff x=3$

$t(1)=2,t(3)=2\sqrt{2},t(5)=2$

$\underset{[1;5]}{max}t=2\sqrt{2}\underset{[1;5]}{min}t=2.$

$\Rightarrow t\in [2;2\sqrt{2}]$

$t^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\Rightarrow \sqrt{(x-1)(5-x)}=\frac{t^2-4}{2}$

Vậy ta được:

$\Rightarrow g(t)\frac{-1}{2}{t}^2+t+7$

$g^{{}^{\prime }}(t)=-t+1=0\iff t=1\in [2;2\sqrt{2}]$

$g(2)=7,g(1)=\frac{15}{2},g(2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$

$\underset{x}{max}$ $f(x)=\underset{t}{max}g(t)=g(1)=\frac{-3}{2}$

$\underset{x}{min}$ $f(x)=\underset{t}{min}g(t)=g(2\sqrt{2})=3+\sqrt{2}$