Dạng 1: Xét dấu các hệ số của hàm bậc bốn trùng phương, phân tích đồ thị hàm số.

Dạng 1: Xét dấu các hệ số của hàm bậc bốn trùng phương, phân tích đồ thị hàm số..

I.Phương pháp giải

Xét đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$).

1. Xác định dấu của a

Từ đồ thị, ta tìm được giới hạn $L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y$. Ta có:

• $L=+\mathrm{\infty }\iff a>0$.
• $L=-\mathrm{\infty }\iff a<0$.

2. Xác định dấu của b

• Đồ thị có ba điểm cực trị $\iff ab<0$.
• Đồ thị có một điểm cực trị $\iff ab\ge 0$.

3. Xác định dấu của c

Ta có M(0; c) là giao điểm của đồ thị với trục tung, suy ra:

• Nếu M nằm phía trên trục hoành $\iff c>0$.
• Nếu M nằm phía dưới trục hoành $\iff c<0$.
• Nếu M thuộc trục hoành $\iff c=0$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Đồ thị hàm số $y=a^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$) có dạng sau:

Xác định dấu của a, b, c

Bài giải:

Hàm số là hàm trùng phương, có $L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\iff a>0$.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên a.b < 0. Mà a > 0 do đó b < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm bên dưới trục hoành, do đó c < 0.

Vậy a > 0; b < 0; c < 0.

Bài tập 2: Đồ thị hàm số $y=a^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$) có dạng sau:

Xác định dấu của a, b, c.

Bài giải:

Ta có:

Hàm số là hàm trùng phương, có $L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\iff a>0$.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên a.b < 0. Mà a > 0 do đó b < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm thuộc trục hoành, do đó c = 0.

Vậy a > 0; b < 0; c = 0.