Giải câu 7 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) khi và chỉ khi:
$1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m$
<=> $m=2$.
Vậy $m=2$ thì đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1).
b) Với m = 1, ta có: $y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m$
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
Ta có: $y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1)$
=> $y'=0<=> x(x^{2}+1)=0<=> x=0$
- Giới hạn: $\lim_{x \to \pm \infty }y=+\infty $
- Bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (-∞; 0)
- Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).
- Đồ thị:
c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng $\frac{7}{4}$
=> Hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}$
Đặt $t=x^{2}\geq 0$
<=> $\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{2}t+1=\frac{7}{4}$
<=> $\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}=0$
<=> $t=1$
<=> $x=\pm 1$
=> Ta có hai điểm là : $B(1;\frac{7}{4})$ và $C(-11;\frac{7}{4})$
Vậy :
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B là: $y=-2x-\frac{1}{4}$
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm C là: $y=2x-\frac{1}{4}$