Giải câu 8 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải câu 8 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

a) Ta có:  $y^{\prime }=3x^2+2(m+3)x=x[3x+2(m+3)]$

=> $y^{\prime }=0<=>x[3x+2(m+3)]=0$

<=> $\{\begin{array}{cc}{x}_1=0& \\ x_2=\frac{-2(m+3)}{3}=-\frac{2m}{3}-2& \end{array}$

TH1:  $x_1=x_2<=>\frac{-2m}{3}-2=0$

=> $m=-3$

Mà $y=3x^2\ge 0$ => Hàm số luôn đồng biến trên R nên không có cực trị   => (loại).

=> Để hàm số có cực trị thì $m\ne -3$.

TH2: $x_1<x_2$

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: Điểm cực đại tại x = 0 => (loiaj).

TH3: $x_1>x_2$

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: Điểm cực đại tại $x=\frac{-2m}{3}-2$.

Theo bài ra để hàm số có điểm cực đại là $x=-1$ <=> $\frac{-2m}{3}-2=-1<=>m=-\frac{3}{2}$

Vậy $m=-\frac{3}{2}$ thì hàm số có điểm cực đại là $x=-1$.

b)  Đồ thị ($C_m$) cắt trục hoành tại x = -2 <=> $(-2{)}^3+(m+3)(-2{)}^2+1-m=0$ (*)

<=> $-8+4(m+3)+1-m=0$

<=> $3m+5=0=>m=-\frac{5}{3}$

Vậy $m=-\frac{5}{3}$ thì đồ thị ($C_m$) cắt trục hoành tại $x=-2$.