Mối liên hệ giữa các công thức lượng giác như thế nào? Để giải đáp câu hỏi này, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 3: Công thức lượng giác. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..
Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Công thức cộng
- \(cos\,(a-b)=cos\,a\,cos\,b+sin\,a\,sin\,b\)
- \(cos\,(a+b)=cos\,a\,cos\,b-sin\,a\,sin\,b\)
- \(sin\,(a-b)=sin\,a\,cos\,b-cos\,a\,sin\,b\)
- \(sin\,(a+b)=sin\,a\,cos\,b+cos\,a\,sin\,b\)
- \(tan\,(a+b)=\frac{tan\,a-tan\,b}{1+tan\,a\,tan\,b}\)
- \(tan\,(a-b)=\frac{tan\,a+tan\,b}{1-tan\,a\,tan\,b}\)
II. Công thức nhân đôi
- \(sin\,2a=2\,sin\,a\,cos\,a\)
- \(cos\,2a=cos^2\,a-sin^2\,a=2cos^2\,a-1=1-2sin^2\,a\)
- \(tan\,2a=\frac{2tan\,a}{1-tan^2\,a}\)
Công thức hạ bậc
- \(\cos^2\,a = \frac{1+cos\,2a}{2}\)
- \(sin^2\,a = \frac{1-cos\,2a}{2}\)
- \(tan^2\,a=\frac{1-cos\,2a}{1+cos\,2a}\)
III. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
- \(cos\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[cos\,(a-b)+cos\,(a+b)]\)
- \(sin\,a\,sin\,b=\frac{1}{2}[cos\,(a-b)-cos\,(a+b)]\)
- \(sin\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[sin\,(a-b)+sin\,(a+b)]\)
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
- \(cos\,u+cos\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\)
- \(cos\,u-cos\,v=-2sin\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\)
- \(sin\,u+sin\,v=2sin\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\)
- \(sin\,u+sin\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 153 sgk Đại số 10
Tính
a) \(\cos {225^0},\sin {240^0},cot( - {15^0}),tan{75^0}\);
b) \(\sin \frac{7\pi}{12}\), \(\cos \left ( -\frac{\pi}{12} \right )\), \(\tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)
Câu 2: trang 154 sgk Đại số 10
Tính
a) \(\cos(α + \frac{\pi}{3}\)), biết \(\sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\).
b) \(\tan(α - \frac{\pi }{4}\)), biết \(\cosα = -\frac{1}{3}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\)
c) \(\cos(a + b), \sin(a - b)\) biết \(\sin a = \frac{4}{5}\), \(0^0< a < 90^0\) và \(\sin b = \frac{2}{3}\), \(90^0< b < 180^0\)
Câu 3: trang 154 sgk Đại số 10
Rút gọn các biểu thức
a) \(\sin(a + b) + \sin(\frac{\pi}{2}- a)\sin(-b)\).
b) \(cos(\frac{\pi }{4} + a)\cos( \frac{\pi}{4} - a) + \frac{1 }{2} \sin^2a\)
c) \(\cos( \frac{\pi}{2} - a)\sin( \frac{\pi}{2} - b) - \sin(a - b)\)
Câu 4: trang 154 sgk Đại số 10
Chứng minh các đẳng thức
a) \( \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\)
b) \(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b = \cos^2b – \cos^2a\)
c) \(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b = \cos^2b – \sin^2a\)
Câu 5: trang 154 sgk Đại số 10
Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết
a) \(sin \,a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)
b) \(cos \,a = - {5 \over {13}}\) và \({\pi \over 2} < a < π\)
c) \(sin\,a + cos\,a = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < π\)
Câu 6: trang 154 sgk Đại số 10
Cho \(\sin 2a = - {5 \over 9}\) và \({\pi \over 2}< a < π\).
Tính \(\sin a\) và \(\cos a\).
Câu 7: trang 155 sgk Đại số 10
Biến đổi thành tích các biểu thức sau
| a) \(1 - \sin x\) | b) \(1 + \sin x\) |
| c) \(1 + 2\cos x\) | d) \(1 - 2\sin x\) |
Câu 8: trang 155 sgk Đại số 10
Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + cos3x + cos5x}}\).