Chương này củng cố, mở rộng hiểu biết của học sinh về Lí thuyết tập hợp đã được học ở lớp dưới, cung cấp các kiến thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo sơ sở để học tốt các chương sau. Bài này là bài mở đầu của chương..
A. Lí thuyết
I. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến
1. Mệnh đề
Khái niệm: Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Ví dụ:
1+3=4 là mệnh đề.
“Cô giáo xinh quá” không phải là mệnh đề.
2. Mệnh đề chứa biến
Khái niệm: Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà sự đúng hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.
Ví dụ: Xét câu “n chia hết cho 3” là mệnh đề chứa biến.
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên với mỗi giá trị của n thuộc tập hợp số nguyên cho ta một mệnh đề.
Chẳng hạn với “n=4” ta được mệnh đề “4 chia hết cho 3”- sai.
Với “n=6” ta được mệnh đề “6 chia hết cho 3”- đúng.
II. Phủ định của một mệnh đề
Phủ định của một mệnh đề A, là một mệnh đề, kí hiệu là $\overline{A}$. Hai mệnh đề A và $\overline{A}$ có những khẳng định trái ngược nhau.
- Nếu A đúng thì $\overline{A}$ sai.
- Nếu A sai thì $\overline{A}$ đúng.
Để phủ định một mệnh đề, ta thêm hoặc bớt từ không hoặc không phải vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ví dụ:
A: “$\pi$ là số hữu tỉ.” -sai
$\overline{A}$: “$\pi$ không là số hữu tỉ.”-đúng.
III. Mệnh đề kéo theo
Khái niệm: Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$. Ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P
Chú ý: Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “-3>-2” $\Rightarrow (-3)^{2}> (-2)^{2}$”- đúng.
IV. Mệnh đề đảo- hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.
Ví dụ: Tam giác ABC cân và có một góc $60^{0}$ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều.
V. Kí hiệu $\forall$ và $ \exists$
Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi", $\exists$ đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một (tồn tại ít nhất một).
Phủ định của $\forall$ là $\exists$ và ngược lại.
Ví dụ: P: $\forall x \in \mathbb{R}:x^{2} \neq 1$
$\overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}:x^{2} = 1$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 1: Trang 9 - sgk đại số 10
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) $3 + 2 = 7$;
b) $4 + x = 3$;
c) $x + y > 1$;
d) $2 - \sqrt{5} < 0.$
Bài 2: Trang 9 - sgk đại số 10
Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.
a) 1794 chia hết cho 3;
b) $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ;
c) $\pi<3,15$;
d) $|-125| \leq 0$.
Bài 3: Trang 9 - sgk đại số 10
Cho các mệnh đề kéo theo
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a+b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện "điều kiện đủ".
c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niện "điều kiện cần".
Bài 4: Trang 9 - sgk đại số 10
Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ"
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Bài 5: Trang 10 - sgk đại số 10
Dùng kí hiệu $\forall, \exists $ để viết các mệnh đề sau
a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;
b) Có một số cộng với chính nó bằng 0;
c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.
Bài 6: Trang 10 - sgk đại số 10
Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) $\forall x \in \mathbb{R}: x^{2}>0$;
b) $\exists n \in \mathbb{N}: n^{2}=n$;
c)$\forall n \in \mathbb{N}: n \leq 2n$;
d)$\exists x\in \mathbb{R}: x < \frac{1}{x}$.
Bài 7: Trang 10 - sgk đại số 10
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai cuả nó.
a) $\forall n \in \mathbb{N}$: n chia hết cho n;
b) $\exists x \in \mathbb{Q}: x^{2}=2$;
c) $\forall x \in \mathbb{R}: x < x+1$;
d) $\exists x \in \mathbb{R}: 3x=x^{2}+1$