Giải bài 1: Giới hạn của dãy số

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là Giới hạn và Hàm số liên tục. Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 1: Giới hạn của dãy số. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left | u_{n} \right |$có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\)hay $u_{n}\rightarrow 0$khi $n\rightarrow +\infty $

ĐỊNH NGHĨA 2

Ta nói dãy số $(v_{n})$có giới hạn là số a (hay $v_{n}$dần tới a ) khi $n\rightarrow +\infty $, nếu \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(v_{n} -a)= 0\)

Kí hiệu: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }v_{n} = a\)hay $v_{n}\rightarrow a$khi $n\rightarrow +\infty $

2. Một số giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:

a. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n} = 0\); \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n^{k}} = 0\)với k nguyên dương;

b. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }q^{n} = 0\)nếu $\left | q \right |<1$;

c. Nếu $u_{n}=c$(c là hằng số) thì \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }c=c\)

CHÚ Ý:

Từ nay về sau thay cho \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}=a\)ta viết tắt là \(\lim u_{n}=a\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÝ 1:

a. Nếu \(lim u_{n}=a\)và \(lim v_{n}=b\)thì:

$lim (u_{n}+v_{n})=a+b$	$lim (u_{n}-v_{n})=a-b$
$lim (u_{n}.v_{n})=a.b$	$lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a}{b}$nếu $b\neq 0$

b. Nếu $u_{n}\geq 0$với mọi n và $lim u_{n}=a$thì:

$a\geq 0$và $lim \sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$có công bội q, với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$có công bội q. Khi đó: 

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n}$

Vì |q|<1 nên $lim q^{n}=0$. Từ đó ta có:

$lim S_{n}=lim \left [ \frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n} \right ]=\frac{u_{1}}{1-q}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn $(u_{n})$ và được kí hiệu là $S=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+....$

Như vậy: $S=\frac{u_{1}}{1-q}; |q|<1$

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

• Ta nói dãy số $(u_{n})$có giới hạn \(+\infty \)khi \(n \rightarrow +\infty \), nếu \(u_{n}\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(lim u_{n}=+ \infty \)hay \(u_{n} \rightarrow +\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty \)

• Dãy số \((u_{n})\)được gọi là có giới hạn \(- \infty \) khi \(n\rightarrow + \infty \)nếu \(lim (-u_{n})= + \infty \)

Kí hiệu: \(lim u_{n}= - \infty \)hay \(u_{n} \rightarrow -\infty\) khi \(n \rightarrow +\infty \)

Nhận xét: \(lim u_{n}=+\infty \Leftrightarrow lim (-u_{n})=-\infty \)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau:

a. $lim n^{k}=+\infty $với k nguyên dương

b. $lim q^{n}=+\infty $nếu $q>1$

3. Định lý

Ta thừa nhận định lý sau:

ĐỊNH LÝ 2

a. Nếu \(lim u_{n}=a\)và \(lim v_{n}=\pm \infty \)thì \(lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=0\)

b. Nếu \(lim u_{n}=a>0, lim v_{n}=0\)và \(v_{n}>0\)với mọi n thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty $

c. Nếu \(lim u_{n}=+\infty \)và \(lim v_{n}=a>0\)thì \(lim u_{n}.v_{n}=+\infty \)