Bài 1 chúng ta đã được tìm hiểu về giới hạn của dãy số. Vậy còn giới hạn của hàm số là gì? Để giải đáp câu hỏi này, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 2: Giới hạn của hàm số. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..
Nội dung bài viết gồm 2 phần:
Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$và hàm số $y=f(x)$xác định trên K hoặc K \ {\(x_{0}\)}
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì,
\(x_{n}\in \)K \ {\(x_{0}\)}; \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
ĐỊNH LÍ 1
a. Giả sử \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = M\)
Khi đó:
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)+g(x)] = L+M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)-g(x)] = L-M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x).g(x)] = L.M\)
- \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\)(nếu \(M\neq 0\))
b. Nếu \(f(x)\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)thì:
\(L\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)
(Dấu của \(f(x)\)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\neq x_{0}\))
3. Giới hạn một bên
ĐỊNH NGHĨA 2
- Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((x_{0}; b)\)
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{0}<x_{n}<b\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; x_{0})\)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(a<x_{n}<x_{0}\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = L\)
ĐỊNH LÍ 2
\(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
ĐỊNH NGHĨA 3
a. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a; x_{n}\rightarrow +\infty\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow +\infty \)
b. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((-\infty ;a)\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow -\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}<a; x_{n}\rightarrow -\infty\)
ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow -\infty \)
CHÚ Ý
a. Với c, k là các hằng số và k là nguyên dương, ta luôn có:
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }c = c\)
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }c = c\)
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)
b. Định lí 1 về giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_{0}\)vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow +\infty \)hoặc \(x\rightarrow -\infty\)
III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
ĐỊNH NGHĨA 4
Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)
Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là \(-\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a\)và \(x_{n}\rightarrow +\infty \)ta có \(f(x_{n})\rightarrow -\infty\)
Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = -\infty \)hay \(f(x)\rightarrow -\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)
NHẬN XÉT: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = +\infty \Leftrightarrow \underset{x\rightarrow +\infty }{lim }(-f(x)) = -\infty \)
2. Một vài giới hạn đặc biệt
- \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)với k nguyên dương.
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = -\infty \)nếu k là số lẻ
- \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)nếu k là số chẵn
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\neq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = +\infty \)(hoặc \(-\infty \))thì \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)g(x)\)được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x).g(x)$
| \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)g(x)\) |
| \(L>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | |
| \(L<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) | \(+\infty\) |
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$
| \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x)\) | Dấu của \(g(x)\) | \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\frac{f(x)}{g(x)}\) |
| \(L\) | \(\pm \infty\) | Tùy ý | 0 |
| \(L>0\) | 0 | + | \(+\infty\) |
| - | \(-\infty\) | ||
| \(L<0\) | + | \(-\infty\) | |
| - | \(+\infty\) |
(Dấu của \(g(x)\)xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \(x\neq x_{0}\)
CHÚ Ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \(x\rightarrow x_{0}^{+}, x\rightarrow x_{0}^{-}, x\rightarrow +\infty ; x\rightarrow -\infty \)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x - 2}\);
b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).
Câu 2: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\) ?
Câu 3: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
| a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\); | b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\); |
| c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\); | d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\); |
| e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\); | f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\). |
Câu 4: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);
b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);
c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).
Câu 5: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),
\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),
\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).
Câu 6: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính:
\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} - {x^2} + x - 1) \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5) \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 5}) \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}} \cr} \)
Câu 7: trang 133 sgk toán Đại số và giải tích 11
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A'B'\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}.\)
a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d' = φ(d)\).
b) Tìm \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{\lim} φ(d)\), \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{\lim} φ(d)\) và \(\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim} φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.