Giải bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 1 chúng ta đã được tìm hiểu về giới hạn của dãy số. Vậy còn giới hạn của hàm số là gì? Để giải đáp câu hỏi này, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 2: Giới hạn của hàm số. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn..

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên K hoặc K \ {$x_0$}

Ta nói hàm số $y=f(x)$có giới hạn là số L khi x dần tới $x_0$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì,

$x_n\in$K \ {$x_0$}; $x_n\to x_0$

ta có $f(x_n)\to L$

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$khi $x\to x_0$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÍ 1

a. Giả sử $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$

Khi đó:

• $\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)+g(x)]=L+M$
• $\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-g(x)]=L-M$
• $\underset{x\to x_0}{lim}[f(x).g(x)]=L.M$
• $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$(nếu $M\ne 0$)

b. Nếu $f(x)\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$thì:

$L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

(Dấu của $f(x)$được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với $x\ne x_0$)

3. Giới hạn một bên

ĐỊNH NGHĨA 2

• Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $(x_0;b)$

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số $y=f(x)$khi $x\to x_0$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì, $x_0<x_n<b$và $x_n\to x_0$

ta có $f(x_n)\to L$

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=L$

• Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $(a;x_0)$

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y=f(x)$khi $x\to x_0$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì, $a<x_n<x_0$và $x_n\to x_0$

ta có $f(x_n)\to L$

Kí hiệu: $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=L$

ĐỊNH LÍ 2

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$khi và chỉ khi $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=L$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

ĐỊNH NGHĨA 3

a. Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $(a;+\mathrm{\infty })$

Ta nói hàm số $y=f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì, $x_n>a;x_n\to +\mathrm{\infty }$

ta có $f(x_n)\to L$

Kí hiệu: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$khi $x\to +\mathrm{\infty }$

b. Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $(-\mathrm{\infty };a)$

Ta nói hàm số $y=f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì, $x_n<a;x_n\to -\mathrm{\infty }$

ta có $f(x_n)\to L$

Kí hiệu: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$khi $x\to -\mathrm{\infty }$

CHÚ Ý

a. Với c, k là các hằng số và k là nguyên dương, ta luôn có:

•  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$
•  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}c=c$
•  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{c}{x^k}=0$
•  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{c}{x^k}=0$

b. Định lí 1 về giới hạn của hàm số khi $x\to x_0$vẫn còn đúng khi $x\to +\mathrm{\infty }$hoặc $x\to -\mathrm{\infty }$

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

ĐỊNH NGHĨA 4

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $(a;+\mathrm{\infty })$

Ta nói hàm số $y=f(x)$có giới hạn là $-\mathrm{\infty }$khi $x\to +\mathrm{\infty }$nếu với dãy số $(x_n)$bất kì, $x_n>a$và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to -\mathrm{\infty }$

Kí hiệu: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$hay $f(x)\to -\mathrm{\infty }$khi $x\to +\mathrm{\infty }$

NHẬN XÉT: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\iff \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-f(x))=-\mathrm{\infty }$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty }$với k nguyên dương.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=-\mathrm{\infty }$nếu k là số lẻ
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty }$nếu k là số chẵn

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Nếu  $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L\ne 0$và  $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$(hoặc $-\mathrm{\infty }$)thì  $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)$được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

a. Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x).g(x)$

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$	$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)$
$L>0$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$
$L<0$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$
	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$	$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$	Dấu của $g(x)$	$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$
$L$	$\pm \mathrm{\infty }$	Tùy ý	0
$L>0$	0	+	$+\mathrm{\infty }$
		-	$-\mathrm{\infty }$
$L<0$		+	$-\mathrm{\infty }$
		-	$+\mathrm{\infty }$

(Dấu của $g(x)$xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $x\ne x_0$

CHÚ Ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp $x\to x_0^{+},x\to x_0^{-},x\to +\mathrm{\infty };x\to -\mathrm{\infty }$