Lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế như việc đo khoảng cách, đo chiều cao, trong thiết kế công trình, trong định vị....

A. Lí thuyết

1. Phương trình $\sin x =a$

  • Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\sin x | \leq 1$

  • Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\sin \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=\pi -\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\sin $ của một góc đẹp thì $\sin x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arcsin a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=\pi-\arcsin a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

2. Phương trình $\cos x =a$.

  • Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\cos x | \leq 1$

  • Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\cos \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=-\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\cos $ của một góc đẹp thì $\cos x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arccos a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=-\arccos a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

3. Phương trình $\tan x =a$

Điều kiện $x \neq \frac{\pi}{2}+ k \pi, (k \in \mathbb{Z})$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\tan x =\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\tan$ của một góc đẹp thì $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình $\cot x =a$.

Điều kiện $x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\cot x =\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\cot$ của một góc đẹp thì $\cot x=a \Leftrightarrow$ x=arccot a+$k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài 1: Trang 28 - sgk đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$.

b) $\sin 3x =1$.

c) $\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{3})=0$

d) $\sin(2x+20^{0})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 2: Trang 28 - sgk đại số và giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 3: Trang 28 - sgk đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$.

b) $\cos 3x=\cos 12^{0}$.

c). $\cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}$.

d) $\cos ^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Bài 4: Trang 29 - sgk đại số và giải tích 11

Giải phương trình $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$.

 

Bài 5: Trang 29 - sgk đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-15^{0})=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$.

c) $\cos 2x. tan x=0$.

d) $\sin 3x. \cot x=0$.

Bài 6: Trang 29 - sgk đại số và giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $y = tan (\frac{\pi}{4}- x) và y = tan2x  bằng nhau ?

Bài 7: Trang 29 - sgk đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x -\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x. \tan x=1$.