Giải bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế như việc đo khoảng cách, đo chiều cao, trong thiết kế công trình, trong định vị....

A. Lí thuyết

1. Phương trình $\sin x =a$

• Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\sin x | \leq 1$

• Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\sin \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=\pi -\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\sin $ của một góc đẹp thì $\sin x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arcsin a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=\pi-\arcsin a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

2. Phương trình $\cos x =a$.

• Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\cos x | \leq 1$

• Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\cos \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=-\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\cos $ của một góc đẹp thì $\cos x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arccos a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=-\arccos a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

3. Phương trình $\tan x =a$

Điều kiện $x \neq \frac{\pi}{2}+ k \pi, (k \in \mathbb{Z})$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\tan x =\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\tan$ của một góc đẹp thì $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình $\cot x =a$.

Điều kiện $x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\cot x =\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\cot$ của một góc đẹp thì $\cot x=a \Leftrightarrow$ x=arccot a+$k \pi, k \in \mathbb{Z}$.