Giải phát triển năng lực toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Giải bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 30. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Cho biểu thức:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$.

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b, Tính giá trị của P khi x = $7-4\sqrt{3}$

c, Tìm tất cả các giá trị của x để $P\geq \frac{2}{3}$

Hướng dẫn:

a, Điều kiện xác định của P: 

$\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}-1\neq 0 &  & \\ 1-\sqrt{x}\neq 0 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}\neq 1 &  & \\ \sqrt{x}\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$

Với $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ ta có:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x})^{3}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{x+2+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{2.(x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$

   = $\frac{2.(x-2\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2.(\sqrt{x}-1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

Vậy P = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

b, Thay x = $7-4\sqrt{3}$ vào P ta có:

P = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}+1}$

   = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+1}$ = $\frac{2}{10-5\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{5.(2-\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5.(2-\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5}$

c, Xét hiệu $P-\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2}{3}$ = $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})$

Do $P\geq \frac{2}{3}$ nên $P-\frac{2}{3}\geq 0$ 

=>   $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3}\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$

Vì $x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$ nên

$\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$ <=> $x+\sqrt{x}+1\leq 3 <=>(\sqrt{x-1})(\sqrt{x+2})\leq 0$

<=> $\sqrt{x-1}\leq 0$ <=> $x\leq 1$

Kết hợp với điều kiện xác định => 0 < x < 1

2. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ với $x>0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 81.

b, Cho P = A.B, chứng minh rằng $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$.

c, So sánh P và P$^{2}$

Hướng dẫn:

a, Khi x = 81 ta có $A=\frac{\sqrt{81}-5}{\sqrt{81}}$ = $\frac{9-5}{9}$ = $\frac{4}{9}$ 

b, P = A.B = $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$.$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$

        = $1-\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ = $1-\frac{3(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $1-\frac{3}{\sqrt{x}+5}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$

=> Điều phải chứng minh

c,  P$^{2}$ = $(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5})^{2}$ = $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

Ta có P - P$^{2}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$ - $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

                             = $\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+5)-(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

                             = $\frac{3\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ = $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

Với $x>0, x\neq 25$ thì $\sqrt{x}+2$ > 0 =>  $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ > 0 => P - P$^{2}$ > 0=> P > P$^{2}$

3. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\geq 0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b, Chứng minh $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ 

c, Tìm tất cả giá trị của x để A = B.|x - 4|

Hướng dẫn:

a, Khi x = 9 thì $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=\frac{3+2}{3-5}=-\frac{5}{2}$

b, $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $\frac{3.(\sqrt{x}-5)+20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

=> Điều phải chứng minh

c, Với $x\geq 0, x\neq 25$ A = B.|x - 4| <=> $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}.|x - 4|$ <=> $\sqrt{x}+2$ = |x - 4|

+ Trường hợp 1: Nếu $x\geq 4, x\neq 25$ ta có:

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = x - 4 <=> $x-\sqrt{x}-6$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=3$ <=> x = 9 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: Nếu $0\geq x<4$ ta có

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = 4 - x <=> $x+\sqrt{x}-2$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

Vậy x = 9, x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.