Giải bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 30. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Cho biểu thức:

P = (x+2xx1+xx+x+1+11x):x12.

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b, Tính giá trị của P khi x = 743

c, Tìm tất cả các giá trị của x để P23

Hướng dẫn:

a, Điều kiện xác định của P: 

{x0xx101x0 <=> {x0xx1x1 <=> {x0x1

Với {x0x1 ta có:

P = (x+2xx1+xx+x+1+11x):x12

   = (x+2(x)31+xx+x+1+11x).2x1

   = (x+2(x1)(x+x+1)+xx+x+1+11x).2x1

   = x+2+x(x1)(x+x+1)(x1)(x+x+1).2x1

   = 2.(x+2+xxxx1)(x1)2(x+x+1)

   = 2.(x2x+1)(x1)2(x+x+1) = 2.(x1)2(x1)2(x+x+1) = 2x+x+1

Vậy P = 2x+x+1

b, Thay x = 743 vào P ta có:

P = 2743+743+1 = 2743+443+3+1 = 2743+(23)2+1

   = 2743+23+1 = 21053 = 25.(23) = 2.(2+3)5.(23).(2+3) = 2.(2+3)5

c, Xét hiệu P232x+x+123 = 2.(1x+x+113)

Do P23 nên P230 

=>   2.(1x+x+113)0 <=> 1x+x+1130 <=> 1x+x+113

x+x+1=(x+12)2+34>0 nên

1x+x+113 <=> x+x+13<=>(x1)(x+2)0

<=> x10 <=> x1

Kết hợp với điều kiện xác định => 0 < x < 1

2. Cho hai biểu thức:

A=x5xB=xx53xx25 với x>0,x25

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 81.

b, Cho P = A.B, chứng minh rằng P=x+2x+5.

c, So sánh P và P2

Hướng dẫn:

a, Khi x = 81 ta có A=81581 = 959 = 49 

b, P = A.B = x5x.xx53xx25

        = 1x5x.3xx25 = 13(x5)(x5)(x+5)

        = 13x+5 = x+2x+5

=> Điều phải chứng minh

c,  P2 = (x+2x+5)2 = (x+2)2(x+5)2 

Ta có P - P2 = x+2x+5 - (x+2)2(x+5)2 

                             = (x+2)(x+5)(x+2)2(x+5)2

                             = 3x+6(x+5)2 = 3(x+2)(x+5)2

Với x>0,x25 thì x+2 > 0 =>  3(x+2)(x+5)2 > 0 => P - P2 > 0=> P > P2

3. Cho hai biểu thức:

A=x+2x5B=3x+5+202xx25 với x0,x25

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b, Chứng minh B=1x5 

c, Tìm tất cả giá trị của x để A = B.|x - 4|

Hướng dẫn:

a, Khi x = 9 thì A=9+295=3+235=52

b, B=3x+5+202xx25 = 3x+5+202x(x5)(x+5)

        = 3.(x5)+202x(x5)(x+5) = x+5(x5)(x+5) = 1x5

=> Điều phải chứng minh

c, Với x0,x25 A = B.|x - 4| <=> x+2x5 = 1x5.|x4| <=> x+2 = |x - 4|

+ Trường hợp 1: Nếu x4,x25 ta có:

x+2 = |x - 4| <=> x+2 = x - 4 <=> xx6 = 0 <=> (x+2)(x3) = 0

<=> x=3 <=> x = 9 (thỏa mãn) hoặc x=2 (không thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: Nếu 0x<4 ta có

x+2 = |x - 4| <=> x+2 = 4 - x <=> x+x2 = 0 <=> (x+2)(x1) = 0

<=> x=1 <=> x = 1 (thỏa mãn) hoặc x=2 (không thỏa mãn)

Vậy x = 9, x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Cho biểu thức M = 2x2 với x0,x4. Tìm x để M = 2.

b, Rút gọn biểu thức P = 2x2:(xx4+1x2) với x0,x4.

c, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Câu 2: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức P = (2xx+3+xx33x+3x9):(2x2x31) với x0,x9 

a, Rút gọn P

b, Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức P = (2x+1x+x1xx):(1+2x) với x > 0.

a, Rút gọn P.

b, Tính giá trị của P biết x=201922018

Câu 4: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Với a, b là những số thực dương thỏa mãn ab + a+ b = 1. Chứng minh rằng

a1+a2+b1+b2=1+ab2(1+a2)(1+b2)

Câu 5: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức:

P = (1+a1+a1a+1a1a21+a)(1a211a) với 0 < a < 1

Chứng minh rằng P = -1

Câu 6: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Rút gọn biểu thức:

A = (3xx+8x5x+x2+1x1+1x+22):(x+1)

Câu 7: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức:

P = a3a2bb2a(11a+ba2)(a+a+b):(a3+a2+ab+a2ba2b2bab) với a>0,b>0,ab,a+ba2

a, Chứng minh P = a - b

b, Tìm a, b biết rằng P = 1 và a3 - b3 = 7