Giải bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 30. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Cho biểu thức:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$.

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.

b, Tính giá trị của P khi x = $7-4\sqrt{3}$

c, Tìm tất cả các giá trị của x để $P\geq \frac{2}{3}$

Hướng dẫn:

a, Điều kiện xác định của P: 

$\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}-1\neq 0 &  & \\ 1-\sqrt{x}\neq 0 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\sqrt{x}\neq 1 &  & \\ \sqrt{x}\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$

Với $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 &  & \\ x\neq 1 &  & \end{matrix}\right.$ ta có:

P = $(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x})^{3}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $(\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}).\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{x+2+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

   = $\frac{2.(x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$

   = $\frac{2.(x-2\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2.(\sqrt{x}-1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)^{2}(x+\sqrt{x}+1)}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

Vậy P = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

b, Thay x = $7-4\sqrt{3}$ vào P ta có:

P = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}+1}$ = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}+1}$

   = $\frac{2}{7-4\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+1}$ = $\frac{2}{10-5\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{5.(2-\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5.(2-\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}$ = $\frac{2.(2+\sqrt{3})}{5}$

c, Xét hiệu $P-\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2}{3}$ = $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})$

Do $P\geq \frac{2}{3}$ nên $P-\frac{2}{3}\geq 0$ 

=>   $2.(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3})\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3}\geq 0$ <=> $\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$

Vì $x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$ nên

$\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{1}{3}$ <=> $x+\sqrt{x}+1\leq 3 <=>(\sqrt{x-1})(\sqrt{x+2})\leq 0$

<=> $\sqrt{x-1}\leq 0$ <=> $x\leq 1$

Kết hợp với điều kiện xác định => 0 < x < 1

2. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ với $x>0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 81.

b, Cho P = A.B, chứng minh rằng $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$.

c, So sánh P và P$^{2}$

Hướng dẫn:

a, Khi x = 81 ta có $A=\frac{\sqrt{81}-5}{\sqrt{81}}$ = $\frac{9-5}{9}$ = $\frac{4}{9}$ 

b, P = A.B = $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}$.$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$

        = $1-\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{x-25}$ = $1-\frac{3(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $1-\frac{3}{\sqrt{x}+5}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$

=> Điều phải chứng minh

c,  P$^{2}$ = $(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5})^{2}$ = $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

Ta có P - P$^{2}$ = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$ - $\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ 

                             = $\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+5)-(\sqrt{x}+2)^{2}}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

                             = $\frac{3\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ = $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$

Với $x>0, x\neq 25$ thì $\sqrt{x}+2$ > 0 =>  $\frac{3(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+5)^{2}}$ > 0 => P - P$^{2}$ > 0=> P > P$^{2}$

3. Cho hai biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\geq 0, x\neq 25$

a, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b, Chứng minh $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ 

c, Tìm tất cả giá trị của x để A = B.|x - 4|

Hướng dẫn:

a, Khi x = 9 thì $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=\frac{3+2}{3-5}=-\frac{5}{2}$

b, $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

        = $\frac{3.(\sqrt{x}-5)+20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

=> Điều phải chứng minh

c, Với $x\geq 0, x\neq 25$ A = B.|x - 4| <=> $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}-5}.|x - 4|$ <=> $\sqrt{x}+2$ = |x - 4|

+ Trường hợp 1: Nếu $x\geq 4, x\neq 25$ ta có:

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = x - 4 <=> $x-\sqrt{x}-6$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=3$ <=> x = 9 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

+ Trường hợp 2: Nếu $0\geq x<4$ ta có

$\sqrt{x}+2$ = |x - 4| <=> $\sqrt{x}+2$ = 4 - x <=> $x+\sqrt{x}-2$ = 0 <=> $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)$ = 0

<=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt{x}=-2$ (không thỏa mãn)

Vậy x = 9, x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Cho biểu thức M = $\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $x\geq 0,x\neq 4$. Tìm x để M = 2.

b, Rút gọn biểu thức P = $\frac{2}{\sqrt{x}-2}:(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2})$ với $x\geq 0,x\neq 4$.

c, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Câu 2: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức P = $(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1)$ với $x\geq 0,x\neq 9$ 

a, Rút gọn P

b, Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Trang 33 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức P = $(\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}):(1+\frac{2}{\sqrt{x}})$ với x > 0.

a, Rút gọn P.

b, Tính giá trị của P biết $x = 2019 - 2\sqrt{2018}$

Câu 4: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Với a, b là những số thực dương thỏa mãn ab + a+ b = 1. Chứng minh rằng

$\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})}}$

Câu 5: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức:

P = $(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^{2}}-1+a})(\sqrt{\frac{1}{a^{2}}-1}-\frac{1}{a})$ với 0 < a < 1

Chứng minh rằng P = -1

Câu 6: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Rút gọn biểu thức:

A = $(\frac{3x\sqrt{x}+8x-5}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-2):(\sqrt{x}+1)$

Câu 7: Trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Cho biểu thức:

P = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b}{a-b})$ với $a>0,b>0,a\neq b,a+b\neq a^{2}$

a, Chứng minh P = a - b

b, Tìm a, b biết rằng P = 1 và a$^{3}$ - b$^{3}$ = 7