Giải câu 7 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 7 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, Với $a>0,b>0,a\ne b,a+b\ne a^2$ ta có:

P = $\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^3+a^2+ab+a^{2}b}{a^2-b^2}-\frac{b}{a-b})$ 

   = $\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\sqrt{\frac{a+b}{a^2}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^2(a+b)+a(a+b)}{(a+b)(a-b)}+\frac{b}{a-b})$

   = $\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{(1-\frac{\sqrt{a+b}}{a})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a(a+b)(a+1)}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{a-b})$ 

   = $\frac{a^3-a-2b-\frac{b^2}{a}}{\frac{a-\sqrt{a+b}}{a}(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a(a+1)}{a-b}-\frac{b}{a-b})$

   = $\frac{a^4-a^2-2ab-b^2}{a^2-(a+b)}:\frac{a^2+a+b}{a-b}$=$\frac{a^4-(a+b{)}^2}{a^2-a-b}.\frac{a-b}{a^2+a+b}$

   = $\frac{(a^2-a-b).(a^2+a+b)}{a^2-a-b}.\frac{a-b}{a^2+a+b}=a-b$

=> Điều phải chứng minh.

b, Khi P = 1 và a${}^3$ - b${}^3$ = 7 ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{ccc}a-b=1& & \\ a^3-b^3=7& & \end{array}$ <=> $\{\begin{array}{ccc}a-b=1& & \\ a^2+ab+b^2=7& & \end{array}$ <=> $\{\begin{array}{ccc}a=b+1& & \\ (b+1{)}^2+(b+1)b+b^2=7& & \end{array}$

<=> $\{\begin{array}{ccc}a=b+1& & \\ 3b^2+3b-6=0& & \end{array}$

Ta có: $3b^2+3b-6=0$ <=> (b - 1)(b + 2) = 0 <=> b = 1 hoặc b = -2 (không thỏa mãn b > 0).

Với b = 1 => a = 2

Vậy (a; b) = (2; 1)