Giải câu 4 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 4 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

Với ab + a + b = 1 ta có:

+) $\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}}$ = $\frac{a}{a b + a + b + a^{2}} + \frac{b}{a b + a + b + b^{2}}$ = $\frac{a}{a (a + b) + a + b} + \frac{b}{b (a + b) + a + b}$

= $\frac{a}{(a + b) (a + 1)} + \frac{b}{(a + b) (b + 1)}$ = $\frac{a . (b + 1)}{(a + b) (a + 1) (b + 1)} + \frac{b (a + 1)}{(a + b) (b + 1) (a + 1)}$ = $\frac{a b + a + a b + b)}{(a + b) (a + 1) (b + 1)}$

= $\frac{1 + a b)}{(a + b) (a b + a + b + 1)}$ = $\frac{1 + a b)}{(a + b) (1 + 1)}$ = $\frac{1 + a b}{2 (a + b)}$ (1)

+) ab + a + b = 1 => ab = 1 - a - b

$\sqrt{2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2})}$ = $\sqrt{2 (1 + a^{2} + b^{2} + (a b)^{2})} = \sqrt{2 (1 + a^{2} + b^{2} + (1 - a - b)^{2})}$

= $\sqrt{2 (1 + a^{2} + b^{2} + 1 - 2 a - 2 b + 2 a b + a^{2} + b^{2})}$ = $\sqrt{2 (2 + 2 a^{2} + 2 b^{2} - 2 a - 2 b + 2 a b)}$

= $\sqrt{2.2 . (a^{2} + b^{2} + 1 - a - b + a b)} = \sqrt{2.2 . (a^{2} + b^{2} + 2 a b)} = \sqrt{2.2 . (a + b)^{2}} = 2 (a + b)$

=> $\frac{1 + a b}{\sqrt{2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2})}}$ = $\frac{1 + a b}{2 (a + b)}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}}$ = $\frac{1 + a b}{\sqrt{2 (1 + a^{2}) (1 + b^{2})}}$

=> Điều phải chứng minh

Giải câu 4 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề