Giải bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài học với nội dung: Phương trình mặt phẳng. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn .

A. Tổng hợp kiến thức

I. Phương trình mặt phẳng

Cho mp($\alpha$), nếu $\overrightarrow{n}\neq 0$ và có giá vuông góc với mp($\alpha$) thì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\alpha$.

• Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
•  $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi tích vô hướng của  $\overrightarrow{a}$ và  $\overrightarrow{b}$
• Ký hiệu: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ hay $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}]$

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$Ax+By+Cz+D=0$ với $A,B,C\neq 0$.

 

• Nếu $A,B,C,D\neq 0$ => ta có phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn: 

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

II. Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

• $(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

• $(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, cho mp($(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp($(\alpha )$ xác định bởi công thức: 

$d(M_{0},(\alpha ))=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$