Dạng 1: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP

Dạng 1: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP.

I.Phương pháp giải

+) Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) khi biết vecto pháp tuyến \vec{n}(A; B; C) và một điểm M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0}) thuộc (P).

• $\Rightarrow$ phương trình (P) có dạng $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
• Khai triển và rút gọn ta được dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = $-(A{x}_0+By0+Cz0)$

+) Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm không thẳng hàng M, N, I :

• Tìm vecto pháp tuyến của (P) $\overrightarrow{n_p}=[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MI}]$.
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến  $\overrightarrow{n_p}$ như loại 1

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 5; -7) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_p}(5;-2;-3)$.

Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 5; -7) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_p}(5;-2;-3)$ có phương trình:

5(x-2) -2(y-5) -3(z+7) = 0

$\iff$ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3)

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;1;-2);\overrightarrow{AC}=(-12;6;0)$

Gọi $\overrightarrow{a}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 6& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -12\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -12& 6\end{array}\right|)=(12;24;24)=(1;2;2)$

Ta chọn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{AC}(1;2;2)$.

Từ đó ta tìm được phương trình của mặt phẳng (P) là :

1.(x-2) + 2.(y+1) + 2.(z-3) = 0

hay x + 2y + 2z - 6 = 0.