Dạng 4: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Dạng 4: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

I.Phương pháp giải

Trong không gian cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và mặt phẳng (Q): $A^{{}^{\prime }}x+B^{{}^{\prime }}y+C^{{}^{\prime }}z+D^{{}^{\prime }}=0$. Ta có:

$(P)\equiv (Q)\iff \frac{A}{A^{{}^{\prime }}}=\frac{B}{B^{{}^{\prime }}}=\frac{C}{C^{{}^{\prime }}}=\frac{D}{D^{{}^{\prime }}}$

$(P)//(Q)\iff \frac{A}{A^{{}^{\prime }}}=\frac{B}{B^{{}^{\prime }}}=\frac{C}{C^{{}^{\prime }}}\ne \frac{D}{D^{{}^{\prime }}}$

$(P)\cap (Q)\iff \frac{A}{A^{{}^{\prime }}}\ne$ hoặc $\frac{B}{B^{{}^{\prime }}}\ne \frac{C}{C^{{}^{\prime }}}$$

$(P)\perp (Q)\iff A.A^{{}^{\prime }}+B.B^{{}^{\prime }}+C.C^{{}^{\prime }}=0.$

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau đây:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0.

b) (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z +6 = 0.

Bài giải:

a) (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 và (Q): x + 5y - z - 9 = 0

Ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_p}=(1;2;3),\overrightarrow{n_Q}=(1;5;-1)$.

Ta thấy $\frac{1}{1}\ne \frac{2}{5}$ nên do đó (P) cắt (Q).

b)  (P): x + y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z +6 = 0.

Ta có mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_p}=(1;1;1),\overrightarrow{n_Q}=(2;2;2)$.

Ta thấy $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne \frac{5}{6}$ nên do đó (P) song song với (Q).

Bài tập 2: Xác định giá trị của m và n để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau : (P):2x + my + 3z - 5 = 0 và (Q): nx - 8y - 6z + 2 = 0.

Bài giải: 

Để (P) và (Q) song song với nhau thì: $\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{-6}\ne \frac{-5}{2}$

$\iff \{\begin{array}{cc}3n=-12& \\ -6m=-24& \end{array}\iff \{\begin{array}{c}n=-4\\ m=4\end{array}$