A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\,\ \) bán kính \(R\) là:
${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$
2. Nhận xét
Phương trình đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng:
$${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$
trong đó \(c = {a^2} + {b^2} + {R^2}\)
Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2}-c>0\). Khi đó đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\)
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\). Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\).
Ta có \(M_0\) thuộc \(∆\) và vectơ \(\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)\) là vectơ pháp tuyến cuả \( ∆\).
Do đó \(∆\) có phương trình là : $({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0\,\ (1)$
Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 83 - SGK Hình học 10
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0\)
b) \(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Câu 2: Trang 83 - SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:
a) \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\);
b) \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\);
c) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\).
Câu 3: Trang 84 - SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
a) \(A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)\)
b) \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\)
Câu 4: Trang 84 - SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(M(2 ; 1)\)
Câu 5: trang 84 - SGK Hình học 10
Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0\)
Câu 6: Trang 84 - SGK Hình học 10
Cho đường tròn \((C)\) có phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\)