Giải Bài 3: Phương trình đường elip sgk Hình học 10 Trang 85

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$

Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.

Các điểm $F_1$ và $F_2$  gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách $F_1{F}_2=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm $F_1$ và $F_2$  chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $F_1(-c;0)$ và $F_2(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được:

$M(x;y)\in$ elip  $\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}=1$ (1)

trong đó:   $b^2=a^2–c^2$

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip $(E)$ có phương trình (1):

a) Nếu điểm $M(x;y)$ thuộc $(E)$ thì các điểm  $M_1(-x;y)M_2(x;-y)$  và $M_3(-x;-y)$ cũng thuộc $(E)$.

Vậy $(E)$ có các trục đối xứng là $Ox,Oy$ và có tâm đối xứng là gốc $O$.

b) Thay $y=0$  vào (1) ta có $x=\pm a$ suy ra $(E)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1(-a;0)A_2(a;0)$.

Tương tự thay $x=0$ vào (1) ta được $y=\pm b$, vậy $(E)$ cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1(0;-b)B_2(0;b)$.

Các điểm  $A_1,A_2,B_1,B_2$ gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng  $A_1{A}_2$  gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1,B_2$  gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần $a$, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như hình tròn.