Giải Câu 6 Bài 2: Phương trình đường tròn sgk Hình học Trang 84

a)   $x^2+y^2-4x+8y-5=0$

$\iff x^2-2.x.2+2^2+y^2+2.y.4+4^2=25$

$\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=5^2$

 Tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$

b)  Phương trình $(C)$ là: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=5^2$

Thay tọa độ $A(-1;0)$ vào vế trái, ta có :

$(-1-2{)}^2+(0+4{)}^2=3^2+4^2=25$

Vậy $A(-1;0)$ là điểm thuộc đường tròn $(C)$.

=> Tiếp tuyến với $(C)$ đi qua $A$ chính là tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$.

Ta có: $\overrightarrow{IA}(-3;4)$

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:

$-3(x+1)+4(y-0)=0\iff 3x-4y+3=0$

c) 

 Đường thẳng  $d:3x–4y+5=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;-4)$ => $d$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(4;3)$

Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  $d$ nên tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến chính là vecto chỉ phương của $d$

=> vecto pháp tuyến của tiếp tuyến là: $\overrightarrow{n^{\prime }}=(4;3)$ 

Phương trình tiếp tuyến có dạng là: $4x+3y+c=0$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến tiếp tuyến bằng bán kính $R=5$ do đó ta có:

$\frac{|4.2+3.(-4)+c|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\iff |c-4|=25$

$\iff [\begin{array}{c}c-4=25\hfill \\ c-4=-25\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}c=29\hfill \\ c=-21\hfill \end{array}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.