a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2} = 25 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\)
Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\)
b) Phương trình $(C)$ là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\)
Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có :
\((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\)
Vậy \(A(-1 ;0)\) là điểm thuộc đường tròn $(C)$.
=> Tiếp tuyến với $(C)$ đi qua $A$ chính là tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$.
Ta có: \(\overrightarrow {IA} ( - 3;4)\)
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là:
\(-3(x +1) +4(y -0) =0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 3 = 0\)
c)
Đường thẳng \(d:3x – 4y + 5 = 0\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n=(3;-4)\) => $d$ có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u=(4;3)\)
Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d\) nên tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến chính là vecto chỉ phương của $d$
=> vecto pháp tuyến của tiếp tuyến là: \(\overrightarrow {n'}=(4;3)\)
Phương trình tiếp tuyến có dạng là: \(4x+3y+c=0\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến tiếp tuyến bằng bán kính \(R=5\) do đó ta có:
\({{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c - 4| = 25\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c - 4 = 25 \hfill \cr
c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr
c = - 21 \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).