Phát triển từ đề thi minh họa THPT Quốc gia lần 3 môn Toán

Đây là một số bài tập phát triển từ đề minh họa THPT lần 3 của Bộ giáo dục- đề thi được đánh giá là sát với đề thi thật nhất..

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z. Tính M+m.

A. $\frac{\sqrt{5}+5\sqrt{13}}{5}$.

B. $\sqrt{5}+5\sqrt{13}$.

C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$.

D. $\sqrt{2}+2\sqrt{13}$.

 Giải: Đáp án C

Gọi $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})$ có điểm M (x,y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$.

$\iff \sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}+\sqrt{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{5}(1)$.

Đặt A(1,1), B(3,2) thì từ (1) ta có: $AM+BM=\sqrt{5}(2)$.

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(2,1)\Rightarrow AB=\sqrt{5}$ nên M thuộc AB.

Cách 1: Sử dụng hình vẽ 

Nhận xét rằng $\widehat{OAB}$ là góc tù ta có $M=|z_{max}|=OB=\sqrt{13}$ và $m=|z{|}_{min}=OA=\sqrt{2}$.

Vậy $M+m=\sqrt{2}+\sqrt{13}$.

Nhận xét: Một sai lầm thường gặp là đánh giá $|z{|}_{min}=d(O,AB)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ nhưng do góc $\widehat{OAB}$ là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho $OM\perp AB$.

Cách 2: Sử dụng hàm số

Ta có phương trình đoạn thẳng AB: x-2y+1=0 với $x\in [1,3],y\in [1,2]$.

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2y-1{)}^2+y^2}=\sqrt{5y^2-4y+1}$.

Xét hàm số $f(y)=5y^2-4y+1$ với $y\in [1,2].$

$f_{max}=13,f_{min}=2$. Suy ra $m=\sqrt{2},M=\sqrt{13}$.