Chuyên đề hình học không gian Oxyz

Chuyên đề hình học không gian Oxyz.

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

 Trong không gian Oxyz cho $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C$, $D(x_D,y_D,z_D)$ và $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ thì 

1. Phép cộng trừ vecto, tích vô hướng của hai vecto (giống như trong mặt phẳng Oxy).

• $\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3).$
• $k\overrightarrow{a}=(k.a_1,k.a_2,k.a_3).$
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$.
• $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$  $\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

• $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$

2. Module của một vecto (độ dài vecto)

• $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.
• $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$.

3. Tích có hướng của hai vecto là một vecto

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|)$

Chú ý:

• $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\perp \overrightarrow{a},[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\perp \overrightarrow{b}.$
• $|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\sin (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$.
• $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}$.
• $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0$.

Cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vecto

• Bước 1: Nhấn mode 8, chọn 1.
• Bước 2: Nhập $x_A,y_A,z_A$ của vecto $\overrightarrow{a}$.
• Bước 3: Nhấn Shift 5, nhấn chọn 1. Ta nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vecto $\overrightarrow{b}$.
• Bước 4: Nhấn AC, nhấn shift 5, nhấn 3 để chọn vecto $\overrightarrow{a}$. Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vecto $\overrightarrow{b}$.

Ứng dụng 

•  Tính diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|$.
• Tính diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|$.
• Thể tích hình hộp ABCDA'B'C'D': $V=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|$.
• Tính thể tích hình tứ diện ABCD: $V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|$.
• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng $|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\overrightarrow{0}$.
• Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}=0$

4. Tọa độ trung điểm, trọng tâm.

• I là trung điểm của AB khi đó $\{\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}\end{array}$
• G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó $\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}$
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi đó $\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}\end{array}$