Chuyên đề tích phân chống Casio.
Phương pháp chung:
Cách 1: Giải theo hình thức tự luận
- Bước 1: Tính tích phân như bình thường.
- Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài và làm tiếp.
Cách 2: Sử dụng máy tính
Ví dụ 1: Cho tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$. Nếu đổi biến $t=\sin ^{2} x$ thì
A. $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
B. $I=2 [\int_{0}^{1}e^{t}dt + \int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
C. $I=2\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
D. $I=\frac{1}{2}[\int_{0}^{1}e^{t}dt+\int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Theo tự luận
Đặt $t=\sin ^{2} x \Rightarrow dt=2\sin x \cos x dx$
Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=0$, $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$.
Vậy $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
Cách 2: Ta chỉ cần tính tích phân đề bài cho và tích phân đáp án. Nếu trừ nhau bằng 0 thì là đáp án đúng.
Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$
Tính tích phân ở đáp án A, B, C. Ở đáp án A
Ví dụ 2: Giả sử rằng $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$. Khi đó giá trị của a+2b là
A. 30.
B. 40.
C. 50.
D. 60.
Giải: Đáp án B
Cách 1: Tự làm (chia phân tử cho mẫu số)
Cách 2: Sử dụng máy tính
Trước hết tính tích phân $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$ và gán cho A
Lúc này chỉ việc giải hệ phương trình với a+2b ở các đáp án. Kết quả nào đẹp thì ta lấy đáp án đó
Đáp án A
Đáp án B
Đáp án C
Đáp án D
Ví dụ 3: Giả sử $I=\int_{1}^{5}\frac{1}{x\sqrt{3x+1}}dx=a\ln 3+b \ln 5$. Khi đó giá trị của $a^{2}+ab+4b^{2}$ là
A. 6.
B. 9.
C. 8.
D. 11.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Đặt ẩn $t=\sqrt{3x+1}$.
Cách 2: Sử dụng máy tính
Trước hết tính tích phân gán cho A
Do vế phải của tích phân đều biểu diễn dưới dạng ln nên chắc chắn rằng tích phân đó cũng theo ln. Vì thế có $A=\ln x \Leftrightarrow X=e^{A}.$. Tính giá trị của biểu thức $e^{A}$
Vậy $X=\frac{9}{5}$. Do đó $\ln \frac{9}{5}=2 \ln 3 -\ln 5$ hay $a=2, b=-1$.
Ví dụ 4: Giả sử $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{a}+\frac{\pi}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$. Khi đó giá trị của $\sqrt[3]{a}+2b$ là
A. 26.
B. 28.
C. 24.
D. 20.
Giải: Đáp án D
Áp dụng công thức tính gần đúng giá trị tích phân để dự đoán hệ số $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$ (sử dụng khi $b-a \leq 1$)
Khi đó $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx \approx \frac{1}{4}(1+\sqrt{1-\frac{1}{4}})=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{1}{4}$
Ta chỉ quan tâm tới phần $\sqrt{3}$ vì giả thiết bài toán cho và dự đoán a=8 và đi tìm b.
Tính tích phân và gán cho A
Do $A=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi}{b}$ nên b=12.
Lưu ý: Các bài toán trên mình khuyến khích nên giải tự luận sẽ nhanh hơn trừ một số bài thực sự phức tạp.