Chuyên đề tích phân chống Casio

Chuyên đề tích phân chống Casio.

Phương pháp chung:

Cách 1: Giải theo hình thức tự luận

Bước 1: Tính tích phân như bình thường.
Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài và làm tiếp.

Cách 2: Sử dụng máy tính

Ví dụ 1: Cho tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin^{2} x} \sin x \cos^{3} x d x$ . Nếu đổi biến $t = \sin^{2} x$ thì

A. $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t$ .

B. $I = 2 [\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} t e^{t} d t]$ .

C. $I = 2 \int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t$ .

D. $I = \frac{1}{2} [\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} t e^{t} d t]$ .

Giải: Đáp án A

Cách 1: Theo tự luận

Đặt $t = \sin^{2} x \Rightarrow d t = 2 \sin x \cos x d x$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0$ , $x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1$ .

Vậy $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t$ .

Cách 2: Ta chỉ cần tính tích phân đề bài cho và tích phân đáp án. Nếu trừ nhau bằng 0 thì là đáp án đúng.

Tính $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin^{2} x} \sin x \cos^{3} x d x$

Tính tích phân ở đáp án A, B, C. Ở đáp án A

Ví dụ 2: Giả sử rằng $I = \int_{- 2}^{0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x = a \ln \frac{2}{3} + b$ . Khi đó giá trị của a+2b là

A. 30.

B. 40.

C. 50.

D. 60.

Giải: Đáp án B

Cách 1: Tự làm (chia phân tử cho mẫu số)

Cách 2: Sử dụng máy tính

Trước hết tính tích phân $I = \int_{- 2}^{0} \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x = a \ln \frac{2}{3} + b$ và gán cho A

Lúc này chỉ việc giải hệ phương trình với a+2b ở các đáp án. Kết quả nào đẹp thì ta lấy đáp án đó

Đáp án A

Đáp án B

Đáp án C

Đáp án D

Ví dụ 3: Giả sử $I = \int_{1}^{5} \frac{1}{x \sqrt{3 x + 1}} d x = a \ln 3 + b \ln 5$ . Khi đó giá trị của $a^{2} + a b + 4 b^{2}$ là

A. 6.

B. 9.

C. 8.

D. 11.

Giải: Đáp án A

Cách 1: Đặt ẩn $t = \sqrt{3 x + 1}$ .

Cách 2: Sử dụng máy tính

Trước hết tính tích phân gán cho A

Do vế phải của tích phân đều biểu diễn dưới dạng ln nên chắc chắn rằng tích phân đó cũng theo ln. Vì thế có $A = \ln x \Leftrightarrow X = e^{A} .$ . Tính giá trị của biểu thức $e^{A}$

Vậy $X = \frac{9}{5}$ . Do đó $\ln \frac{9}{5} = 2 \ln 3 - \ln 5$ hay $a = 2, b = - 1$ .

Ví dụ 4: Giả sử $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{\sqrt{3}}{a} + \frac{π}{b}$ với $a, b \in Z$ . Khi đó giá trị của $\sqrt[3]{a} + 2 b$ là

A. 26.

B. 28.

C. 24.

D. 20.

Giải: Đáp án D

Áp dụng công thức tính gần đúng giá trị tích phân để dự đoán hệ số $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ (sử dụng khi $b - a \leq 1$ )