Đáp án và lời giải chi tiết một số bài- Chuyên đề tích phân chống Casio.
Đáp án
| 1. A | 11. C |
| 2. A | 12. A |
| 3. C | 13. B |
| 4. B | 14. A |
| 5. D | 15. B |
| 6. C | 16. A |
| 7. D | 17. B |
| 8. D | 18. C |
| 9. D | 19. C |
| 10. A | 20. C |
Hướng dẫn giải một số bài
Câu 1: Cho tích phân $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx=e^{a}-b$, giá trị của $a+2b$ bằng
A. 2.
B. $\frac{3}{2}$.
C. $\frac{5}{2}$.
D. 3.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Ta có $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx=e^{a}-b=\int_{1}^{e}(\ln x+e^{ \ln x})d (\ln x)=\left.\begin{matrix} (\frac{\ln ^{2}x}{2}+e^{\ln x})\end{matrix}\right|_{1}^{e}=e-\frac{1}{2}$.
Mà $I=e^{a}-b=e-\frac{1}{2} \Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}$. Vậy a+2b=2.
Cách 2: Tính tích phân $I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x + e^{\ln x}}{x}dx$ gán bằng A
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} e^{a}-b=A\\a+2b=P \end{matrix}\right.$
Ta thấy đáp án A ra kết quả đẹp nhất nên ta chọn A.
Câu 2: Cho đẳng thức $2 \sqrt{3}m-\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx=0$. Khi đó $144m^{2}-1$ bằng
A. $-\frac{2}{3}$.
B. $-\frac{1}{3}$.
c. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Ta có $\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx= \int_{0}^{1}\frac{d(x^{4})}{(x^{4}+2)^{2}}=\left.\begin{matrix} (-\frac{1}{x^{4}+2})\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{6}$
Khi đó $2 \sqrt{3}m-\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx=0 $
$\Leftrightarrow 2 \sqrt{3}m-\frac{1}{6}=0 \Leftrightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{36} \Rightarrow 144m^{2}-1=-\frac{2}{3}$
Cách 2:
Tích tích phân $\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{(x^{4}+2)^{2}}dx$
Sau đó ta tính m rồi tính $144m^{2}+1$.
Câu 3: Cho tích phân $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx=1+\ln \frac{e+1}{2}$, giá trị của số thực dương a bằng
A. $a=\frac{3}{2}$.
B. $a=\frac{1}{2}$.
C. $a=1$.
D, $a=2$.
Giải: Đáp án C
Ta có $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx=\int_{0}^{a}(2x+\frac{e^{x}}{e^{x}+1})dx$
$=\int_{0}^{a}2xdx+\int_{0}^{a}\frac{d(e^{x}+1)}{e^{x}+1}=\left.\begin{matrix}[x^{2}+\ln(e^{x}+1)] \end{matrix}\right|_{0}^{a}=a^{2}+\ln (\frac{e^{a}+1}{2})=1+\ln \frac{e+1}{2}$
$\Rightarrow a=1$
Cách 2: Nhập biểu thức $\int_{0}^{a}\frac{(2x+1)e^{x}+2x}{e^{x}+1}dx-1+\ln \frac{e+1}{2}$
dùng lệnh CALC để gán các giá trị a trong đáp án. Kết quả nào bằng 0 là đáp án đúng.