Giải bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

A. Tổng hợp kiến thức

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số.
Ký hiệu: $\vec{a} . \vec{b}$

\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})

Nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} . \vec{b} = 0$

=> $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

Nếu $\vec{a} = \vec{b}$

=> $\vec{a} . \vec{b} = \vec{a} . \vec{a} = \vec{a^{2}}$

2. Các tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$

$\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c} = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$

$(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$

$\vec{a^{2}} \geq 0, \vec{a^{2}} = 0 <=> \vec{a} = \vec{0}$

3. Ứng dụng

Độ dài vectơ

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

Góc giữa hai vectơ

\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}

Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm $A (x_{A}, y_{A})$ và $B (x_{B}, y_{B})$ , ta có:

A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 45 - sgk hình học 10

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:

$\vec{A B} . \vec{A C}$

$\vec{A C} . \vec{C B}$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 45 - sgk hình học 10

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.

b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 45 - sgk hình học 10

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.

a) Chứng minh: $\vec{A I} . \vec{A M} = \vec{A I} . \vec{A B}$ và $\vec{B I} . \vec{B N} = \vec{B I} . \vec{B A}$ .

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $\vec{A I} . \vec{A M} + \vec{B I} . \vec{B N}$ theo R.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 45 - sgk hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 45 - sgk hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (2; - 3)$ và $\vec{b} = (6; 4)$

b) $\vec{a} = (3; 2)$ và $\vec{a} = (5; - 1)$

c) $\vec{a} = (- 2; - 2 \sqrt{3})$ và $\vec{a} = (3; \sqrt{3})$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Trang 45 - sgk hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: Trang 45 - sgk hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.

=> Xem hướng dẫn giải

Giải bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Mục lục

Bài học cùng chủ đề

A. Tổng hợp kiến thức

B. Bài tập và hướng dẫn giải