A. Tổng hợp kiến thức
1. Định nghĩa
- Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số.
- Ký hiệu: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$
| $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ |
- Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$
=> $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$
- Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$
=> $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a^{2}}$
2. Các tính chất của tích vô hướng
- Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. ta có:
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ $(k\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$ $\overrightarrow{a^{2}}\geq 0,\overrightarrow{a^{2}}=0 <=>\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ |
3. Ứng dụng
Độ dài vectơ
| $\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$ |
Góc giữa hai vectơ
| $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$ |
Khoảng cách giữa hai điểm
- Cho hai điểm $A(x_{A},y_{A})$ và $B(x_{B},y_{B})$, ta có:
| $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 45 - sgk hình học 10
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$
Câu 2: Trang 45 - sgk hình học 10
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.
b) Điểm O nằm trong đoạn AB.
Câu 3: Trang 45 - sgk hình học 10
Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a) Chứng minh: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}$.
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN}$ theo R.
Câu 4: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(1; 2).
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b) Tính chu vi tam giác OAB.
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Câu 5: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(6;4)$
b) $\overrightarrow{a}=(3;2)$ và $\overrightarrow{a}=(5;-1)$
c) $\overrightarrow{a}=(-2;-2\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{a}=(3;\sqrt{3})$
Câu 6: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Câu 7: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.