a) Ta có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})$
<=> $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}$
Mà $AI\perp MB$ => $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MB}=0 $
=> $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ ( đpcm )
Tương tự, ta có: $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})$
<=> $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN}$
Mà $BI\perp AN$ => $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN}=0 $
=> $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}$. (đpcm )
b) Ta có:
$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}$
<=> $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB^{2}}$
<=> $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=AB^{2}=4R^{2}$