Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Xét tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Định li Vi-ét
Cho phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c= 0 ($a\neq 0$) (1)
- Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} & & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} & & \end{matrix}\right.$
2. Hệ quả
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = $\frac{c}{a}$
- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 = -$\frac{c}{a}$
- Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0
- Nếu hai số u và v thỏa mãn u + v = S và u.v = P ($S^{2}\geq 4P$), thì hai số đó là các nghiệm của phương trình x$^{2}$ - Sx + P = 0.
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình nếu có:
a, $4x^{2}+7x+2=0$ b, $-3x^{2}+x+1=0$
Hướng dẫn:
a, Vì $\Delta $ = 49 - 32 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2. Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = $-\frac{7}{4}$ và x1.x2 = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
b, Vì phương trình có a và c trái dấu nên nó có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = $-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$ và x1.x2 = $\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 3.
Hướng dẫn:
Nếu hai số này tồn tại thì chúng là hai nghiệm của phương trình:
$x^{2}-14x+3=0$
$\Delta' =7^{2}-1.3=46$; $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{46}$
x1 = 7 + $\sqrt{46}$ và x2 = 7 - $\sqrt{46}$
Vậy hai sô cần tìm là 7 + $\sqrt{46}$ và 7 - $\sqrt{46}$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Xét tổng a + b + c hoặc a - b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình:
a, $15x^{2}-17x+2=0$
b, $30x^{2}-4x-34=0$
c, $2\sqrt{3}x^{2}+2(5-\sqrt{3})x-10=0$
2. Không giải phương trình hãy tìm tổng và tích hai nghiệm của mỗi phương trình sau:
a, $17x^{2}-2x-3=0$
b, $8x^{2}+6x+1=0$
c, $9x^{2}-2x+5=0$
3. a, Chứng tỏ rằng 5 là nghiệm của phương trình $2x^{2}-3x-35=0$. Hãy tìm nghiệm kia.
b, Tìm giá trị của m để phương trình $mx^{2}-3(m+1)x+m^{2}-13m-4=0$ có một nghiệm là -2. Tìm nghiệm kia.
4. Cho phương trình $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+m=0$
a, Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b, Kí hiệu hai nghiệm của phương trình là x1; x2. Tính $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}; |x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|$
5. Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x1; x2 của phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$
6. Tìm hai số u và v biết $u^{2}+v^{2}=13$ và uv = 6