Cách giải bài toán dạng: Rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng phép khai phương đơn giản

• $\sqrt{A^{2}}=|A|$ ($\forall A$)
• $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ (Với $A, B \geq 0$)
• $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (Với $A\geq 0$; B > 0)

Ví dụ 1: Tính:

a, $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^{2}}$

b, $\sqrt{16+9}$

c, $\sqrt{3}.\sqrt{27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^{2}}$ = |$\sqrt{5}-4$| = $4- \sqrt{5}$

b, $\sqrt{16+9}$ = $\sqrt{25}$ = $\sqrt{5^{2}}$ = 5

c, $\sqrt{3}.\sqrt{27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = $\sqrt{3.27}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = $\sqrt{81}-\sqrt{144}:\sqrt{36}$ = 9 - 12:6 = 7

2. Sử dụng các hằng đẳng thức

Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức:

• $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$
• $A^{2}\pm 2AB+B^{2}=(A\pm B)^{2}$

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a, $\sqrt{5+2\sqrt{6}-\sqrt{3}}$

b, $\sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{5+2\sqrt{6}-\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3+2\sqrt{3.2}+2}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3}$ 

                                                = $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ = $\sqrt{2}$

b, $\sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}$ = $\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}$ = $\sqrt{\frac{41.289}{164}}$ = $\sqrt{\frac{289}{4}}$ = $\frac{17}{2}$

3. Sử dụng các phép biến đổi đơn giản các biểu thức căn bậc hai.

• Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 

$\sqrt{A^{2}.B}=\sqrt{A^{2}}.\sqrt{B}=|A|.\sqrt{B}$ (với $B\geq 0$)

= $A\sqrt{B}$ với $A\geq 0,B\geq 0$

= $-A\sqrt{B}$ với $A\leq 0,B\geq 0$

• Đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với $A\geq 0,B\geq 0$ thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}}.\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}.B}$

Với  $A<0,B\geq 0$ thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}.B}$

• Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn:

Với $A.B\geq 0$ và $B\neq $ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^{2}}}=\frac{\sqrt{AB}}{\sqrt{B^{2}}}=\frac{\sqrt{A.B}}{|B|}$

• Trục căn thức ở mẫu:

Nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hiện $\sqrt{A^{2}}$

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức:

a, A = $2\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{50}$

b, B = $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4}{5}}-3\sqrt{5}$

c, C = $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Hướng dẫn:

a, A = $2\sqrt{8}-3\sqrt{32}+\sqrt{50}$ = $2\sqrt{4.2}-3\sqrt{16.2}+\sqrt{25.2}$ 

= $2.2.\sqrt{2}-3.4\sqrt{2}+5.\sqrt{2}=-3\sqrt{2}$ 

b,  B = $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4}{5}}-3\sqrt{5}$

= $5\sqrt{\frac{1.5}{5.5}}+\frac{5}{2}.\sqrt{\frac{4.5}{5.5}}-3\sqrt{5}$

= $5.\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5}{2}.\frac{2.\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-\sqrt{5}$

c,  C = $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

= $\frac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{4}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{4}{4-3}=4$